© 2008  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Föll 2

  Kynning 5

Önnur afleiða

Ef við finnum afleiðu falls og síðan afleiðu útkomunnar þá höfum við fundið aðra afleiðu. Ef við byrjum með fallið f(x), finnum f´(x) og síðan afleiðu f´(x) þá höfum við fundið aðra afleiðu f(x) sem er táknuð f´´(x) (lesið f tvímerkt af x).

Sýnidæmi 1

Finnum aðra afleiðu eftirfarandi falla:

a)    f(x) = x³ + x² + x + 1

       f´(x) = 3x² + 2x + 1

       f´´(x) = 6x + 2

b)    f(x) = x⁴ + x³ + x^–1 + 1

       f´(x) = 4x³ + 3x² – x^–2

       f´´(x) = 12x² + 6x + 2x^–3

c)    f(x) = sin x

       f´(x) = cos x

       f´´(x) = –sin x

d)    f(x) = cos x

       f´(x) = –sin x

       f´´(x) = –cos x

e)    f(x) = e^–x

       f´(x) = –e^–x

       f´´(x) = e^–x

f)    f(x) = ln x

      f´(x) = 1/x = x^–1

       f´´(x) = –x^–2

Hugsum okkur fall f(t) sem gefur okkur staðsetningu hlutar á hverjum tíma t. Eftirfarandi túlkun er vel þekkt úr eðlisfræði:

    f(t) gefur staðsetningu hlutar á hverjum tíma t.

    f´(t) gefur hraða hlutar á hverjum tíma t.

    f´´(t) gefur hröðun hlutar á hverjum tíma t.

Við getum litið á hraða sem breytingu á staðsetningu á tímaeiningu. Hröðun er aftur á móti breyting á hraða á tímaeiningu. Hröðun upplifum við sem þrýsting á líkamann hraðinn breytist t.d. í flugtaki eða í lendingu þegar við nýtum okkur flugsamgöngur.

Sýnidæmi 2

Þegar skotið er af boga beint upp í loftið má finna fall sem sýnir hæð örvarinnar á hverjum tíma. Slíkt fall er auðvitað háð aðstæðum svo sem gæðum bogans, afli skyttunnar og loftviðnámi örvarinnar.

Fallið h(t) = –4,9t² + 24,5t + 2,4 lýsir einu svona skoti og miðast við örvaroddinn.

a)   Finnum hve langan tíma flug örvarinnar tekur.

Hugsum okkur hnitakerfi með hæðina h á lóðrétta ásnum (sem við vanalega köllum y-ás) og tíman t á lárétta ásnum (sem við vanalega köllum x-ás). Gerum ráð fyrir að bogaskyttan standi á miðpunkti þessa hnitakerfis og skjóti örinni úr 2,4 m hæð miðað við oddinn. Örin flýgur upp og síðan niður aftur þar til hún nær hæðinn 0 á því augnabliki sem oddurinn stinngst í jörðina. Við þurfum því að finna núllstöðvar h(t) og við getum notað til þess lausnarformúlu annarrs stigs jafna eða grafíska reiknivél.

      Núllstöðin t ≈ 0 er ekki fyllilega nákvæm vegna þess að örvaroddurinn er í 2,4 m hæð þegar t = 0. Hin
      núllstöðin sýnir að eftir um 5 sekúndur stingst örin í jörðina.

b)   Reiknum nú út hve mikilli hæð örin nær.

Afleiðan h´(t) sýnir hraða örvarinnar á hverjum tíma t. Þegar hún nær mestri hæð stöðvast hún í eitt augnablik áður en hún fellur aftur til jarðar. Eins og vænta mátti þá getum við notað núllstöð afleiðunnar til þess að finna hæstu stöðu örvarinnar.

          h´(t) = –9,8t + 24,5 = 0

           9,8t = 24,5

                t = 24,5/9,8 = 2,5 s

Örin stöðvast í mestu hæð eftir 2,5 sekúndur. Nú notum við hæðarformúluna h(t) til þess að reikna í hvaða hæð hún er þá.

           h(2,5) = –4,9·2,5² + 24,5·2,5 + 2,4 = 33,025 m

       Örin nær um 33 m hæð.

c)   Skoðum nú hröðun örvarinnar og notum til þess aðra afleiðu.

          h´(t) = –9,8t + 24,5

          h´´(t) = –9,8 m/s²

Þetta er dálítið merkileg niðurstaða. Hröðunin er föst stærð. Ef við gætum tekið okkur far með örinni ættum við samkvæmt þessu ekki að finna neinn þrýsting. En við verðum að muna að jafnan h(x) = –4,9t² + 24,5t + 2,4 gildir um staðsetningu örvarinnar eftir skotið, ekki um skotið sjálft. Um skotið gildir einhver önnur jafna sem gæfi mun hærri hröðun á fyrstu sekúndubrotunum. Eftir skotið virkar hins vegar eingöngu þyngdarhröðun jarðar á örina og það er fasta stærðin –9,8 m/s² eða nákvæmlega það sem við fengum út.

 

Skoðum nú hvaða upplýsingar um gröf falla önnur afleiða gefur. Afleiðan sýnir halla falla. Önnur afleiða ætti því að sýna breytingar á hallanum. Þegar önnur afleiða skiptir um formerki t.d. frá jákvæðu yfir í neikvætt þá gefur það upplýsingar um að halli grafsins hætti að vaxa og fari að minnka aftur. Þessi umskipti verða þar sem önnur afleiða hefur núllstöð og talað er um hverfipunkt á grafinu þar sem þetta gerist.

Þar sem önnur afleiða er jákvæð fer halli grafsins vaxandi. Þar hlýtur grafið að vera sveigt upp á við.

Þar sem önnur afleiða er aftur á móti neikvæð fer halli grafsins minnkandi og þar hlýtur grafið að vera sveigt niður á við á við.

Fallið f(x) = e^x hefur afleiðuna f´(x) = e^x og þar af leiðandi er önnur afleiða f´´(x) = e^x. Önnur afleiða getur því aldrei orðið núll eða neikvæð (þú getur aldrei búið til neikvæða tölu eða 0 með því að setja einhvern veldisvísir á jákvæðu grunntöluna e). Önnur afleiða fallsins f(x) = e^x er því jákvæð og grafið sveigt upp á við (sjá myndina hér fyrir neðan).

Fallið g(x) = ln x er aðeins skilgreint fyrir x stærri en núll. Afleiðan er g´(x) = 1/x = x^–1 og önnur afleiða g´´(x) = –x^–2 = –1/x². Hér gefur önnur afleiða aðeins neikvæð gildi þannig að grafið er niðursveigt eins og myndin hér fyrir neðan sýnir.

f(x) = ex er uppsveigt. f´´(x) er jákvætt   (í +).

g(x) = ln x er niðursveigt. g´´(x) er neikvætt   (í –).

Sýnidæmi 3

Skoðum föllin f(x) = x² + 4x + 3 og g(x) = –x² + 4x – 3. Finnum afleiður þeirra og aðra afleiðu.

    f(x) = x² + 4x + 3                       g(x) = –x² + 4x – 3

    f´(x) = 2x + 4                             g´(x) = –2x + 4

    f´´(x) = 2                                    g´´(x) = –2

f´´(x) er jákvætt þannig að graf f(x) er uppsveigt. g´´(x) er hins vegar neikvætt þannig að graf g(x) er niðursveigt.

Finnum þessu næst núllstöðvar afleiðanna og topp- og botnpunkta grafanna út frá því.

   f´(x) = 2x + 4 = 0                        g´(x) = –2x + 4 = 0

      2x = –4                                     –2x = –4

        x = –2                                         x = 2

  f(–2) = (–2)² + 4(–2) + 3 = –1      g(2) = –2² + 4·2 – 3 = 1

Graf f(x) hlýtur að hafa botnpunkt vegna þess að það er uppsveigt og hnit botnpunktsins er (–2, –1).

Graf g(x) hlýtur að hafa topppunkt vegna þess að það er niðursveigt og hnit topppunktsins (2, 1). Gröf fallanna eru eftirfarandi:

Sýnidæmi 4

Skoðum fallið f(x) = x³ – 3x² + 4. Finnum fyrstu og aðra afleiðu og hverfipunkt grafsins. Finnum loks snertil í hverfipunktinum, en slíkur snertill nefnist hverfisnertill.

Finnum fyrst afleiðu og aðra afleiðu.

   f(x) = x³ – 3x² + 4

   f´(x) = 3x² – 6x

   f´´(x) = 6x – 6

Núllstöðvar fyrstu afleiðu eru:

   f´(x) = 3x² – 6x = 3x(x – 2) = 0

        x = 0 eða 2

Núllstöð annarrar afleiðu er:

   f´´(x) = 6x – 6 = 0

       6x = 6

         x = 1

Gerum nú formerkjakönnun á fyrstu og annarri afleiðu en reiknum fyrst út gildi sitt hvoru meginn og á milli núlstöðvanna til þess að átta okkur á formerkjabreytingum.

   f´(–1) = 3(–1)² – 6(–1) = 3 + 6 = 9    (+)

   f´(1) = 3·1² – 6·1 = –3                       (–)

   f´(3) = 3·3² – 6·3 = 9                         (+)

   f´´(0) = 6·0 – 6 = –6                          (–)

   f´´(2) = 6·2 – 6 = 6                            (+)

Nú erum við tilbúin til að gera alsherjar formerkjakönnun.

Grafið verður niðursveigt neðan við x = 1 og það merkjum við með boga sem oppnast niður á við en uppsveigða hlutann ofan við x = 1 merkjum við með boga sem oppnast upp á við. Þessi athugun sýnir ljóslega að grafið hefur staðbundið hágildi eða toppunkt í x = 0 og staðbundið lággildi í x = 2. Loks er hverfipunktur í x = 1.

Reiknum nú þessa punkta út.

   f(0) = 0³ – 3·0² + 4 = 4    Topppunktur  = (0, 4)

   f(2) = 2³ – 3·2² + 4 = 0    Botnpunktur   = (2, 0)

   f(1) = 1³ – 3·1² + 4 = 2    Hverfipunktur = (1, 2)

Finnum næst jöfnu hverfisnertilsins.

Almenn jafna snertils er y = f´(a)(x – a) + b þar sem (a, b) er snertipunkturinn eða (1, 2) í okkar tilfelli. Hér fyrir ofan fundum við að f´(1) = –3 þannig að við þurfum aðeins að raða þessum upplýsingum inn í jöfnuna og einfalda hana.

   y = –3(x – 1) + 2

      = –3x + 3 + 2

      = – 3x + 5

Jafna hverfisnertils er y = –3x + 5.

Að lokum skulum við skoða graf f(x) og hverfisnertilsins y = –3x + 5 í grafískri reiknivél. Grafið sýnir vel hvar grafið er niðursveigt og hvar uppsveigt og hvernig hverfisnertillinn afmarkar skilin þarna á milli.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 5 í Föllum 2.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum