© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak Pétursson

Mengi kynning 2

Talnamengi 

Nokkur talnamengi eru notuð í stærðfræðinni. Sameiginlegt einkenni þeirra er óendanlegur fjöldi staka. Eftirfarandi mynd sýnir þrjú þessara mengja.

Einfaldasta mengið er mengi náttúrulegra talna, mengið N = {1,2,3,∙∙∙}. Þetta eru tölurnar sem við notum til þess að telja með heila hluti og það er engin fræðileg takmörk á því hve hátt er hægt að telja. Núllið er algeng viðbót við þetta mengi og þá er komið mengið N₀ = {0,1,2,3,∙∙∙} sem oft er notað í fræðunum.

Mengið Z, mengi heilla talna, er talsvert yfirgripsmeira. Það nær yfir 0 og allar náttúrulegar tölur og þar að auki allar neikvæðar heilar tölur. Þetta má tákna Z = {∙∙−2,−1,0,1,2,∙∙}. Mengið N er því eiginlegt hlutmengi í Z.

N Z

Enn yfirgripsmeira er mengi ræðra talna, mengið Q. Það er mengi allra þeirra talna sem hægt er að tjá nákvæmlega með tölustöfum, annað hvort með heilum tölum eða almennum brotum, jákvæðum eða neikvæðum.  Mengin Z og N eru eiginleg hlutmengi í Q.

Z Q og N Q

Taktu eftir því að tugabrot eru ekki nefnd í þessu samhengi, enda eru þau talsvert takmarkaðri en almenn brot. Einfalda ræða tölu eins og t.d. ¹/₃ er ekki hægt að tjá með endanlegu tugabroti.

Sýnidæmi 1

og

Reiknum í vasareikni 1 deilt með 3

sem gefur 0,333∙∙∙∙

og 4 deilt með 33

sem gefur 0,1212∙∙∙∙

Óendanlegu tugabrotin í sýnidæminu hér fyrir ofan eru kölluð lotubundin tugabrot vegna þess að sömu tölurnar endurtaka sig endalaust. Í fyrra dæminu er lotan einn tölustafur (3 endurtekur sig) og í því síðara er lotan tveir tölustafir (1 og 2 endurtaka sig). Með lotubundnum tugabrotum má tjá allar ræðar tölur og þar með öll almenn brot.

Við höfum nú skoðað hvernig breyta má almennu broti í tugabrot (teljari deilt með nefnara). Nú skulum við athuga hvernig breyta má tugabroti til baka í almennt brot.

Ef tugabrotið er endanlegt þá breytum við því sem er aftan við kommu í tíundu hluta, hundruðustu hluta, þúsundustu hluta o.s.frv. allt eftir því hve margir aukastafirnir eru hverju sinni.

Sýnidæmi 2

Breytum 0,3, 0,12 og 0,1212 í almenn brot.

0,3

=

Þetta verður dálítið flóknara ef tugabrotið er lotubundið. Þá þurfum við að beita frádrætti með dálítilli útsjónasemi til þess að eyða lotunni.

Sýnidæmi 3

Breytum 0,333∙∙∙∙∙, 0,1212∙∙∙∙∙ og 1,14333∙∙∙∙ í almenn brot.

		Við drögum töluna frá tífaldri tölunni, en við það dettur lotan út.
		Að lokum er deilt í gegn og stytt.

		Hér þurfum við að draga töluna frá hundraðfaldri tölunni til þess að lotan detti út.

		Hér þurfum við að draga hundraðfalda töluna frá þúsundfaldri tölunni til þess að lotan detti út.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 2 í Mengjum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum