© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Veldareglur og lograr.

Kynning 4    Lograr með mismunandi grunntölur

Til eru margar gerðir af logrum og við getum í sjálfu sér búið til logra og notað hvaða jákvæða grunntölu sem er.

Almennur ritháttur lografalla með grunntöluna a er eftirfarandi:

    f(x) = log a x

Logri með grunntöluna 10 eða lg x má því rita log10 x og náttúrulega logrann ln x sem log e x.

Logrinn log 2 x er veldisvísir sem setja þarf á tvo til þess að búa til útkomuna x.

Þannig er log 2 8 = 3 vegna þess að við þurfum að setja veldið 3 á grunntöluna 2 til þess að fá út 8 eða  23 = 8.

Fallið f(x) = log 2 x upphefur því fallið g(x) = 2x og g(x) = 2x upphefur f(x) = log 2 x líkt og kvaðratrót og annað veldi upphefja hvort annað. Föllin f(x) = log 2 x og g(x) = 2x eru andhverfur hvors annars.

Við skulum nú skoða lausn jöfnunnar 2x = 8.

Við vitum að lausnin er log 2 8 = 3 en við skulum leysa þetta með hefðbundnum aðferðum eða með því að taka logra af báðum hliðum og nota síðan veldaregluna ln a x = x ln a til þess að færa x-ið framfyrir.

    ln 2x = ln 8

    x ln 2 = ln 8

    x = ln 8/ ln 2 = 3

Samkvæmt þessu er log 2 8 = ln 8/ ln 2 og við sjáum að hægt er að finna log 2 x fyrir hvaða jákvætt x sem er með því að deila ln x með ln 2.

Þetta gildir fyrir logra með hvaða jákvæðu grunntölu sem er. Það sjáum við af eftirfarandi:

    Ef a = ex þá er x = ln a og ef y = ad þá er d = log a y.

    þá er y = ad = (ex)d = edx og dx = ln y.

    Ef við nú setjum d = log a y og x = ln a í staðin fyrir d   og x í jöfnunni dx = ln y þá fáum við eftirfarandi reglu.

   

Þetta merkir að ef við margföldum alla liði í jöfnu með ln a þá breytum við öllum log a y í jöfnunni í ln y.

Síðan ef við deilum í gegn um regluna hér fyrir ofan með ln a fæst eftirfarandi regla:

Við getum sem sagt fundið log a y af hvaða jákvæðu y sem er og miðað við hvaða jákvæða grunntölu a sem er með því að deila ln y með ln a.

Við getum því skipt út log a y fyrir lny/ ln a í öllum okkar útreikningum. Það er mjög þægilegt vegna þess að fæstar reiknivélar hafa aðra logra en ln og lg.

Sambærilegar reglur gilda fyrir 10-logra eða lg:

Sýnidæmi 1

Finnum log 210

a)  Breytum log 210 í 10 logra.

        log 210 = lg 10/ lg 2 = 1/ lg 2 ≈ 3,322

b)  log 210 er x-ið í jöfnunni 2 x = 10 og við getum leyst hana með því að taka lg af báðum hliðum.

        lg 2 x = lg 10

        x lg 2 = 1

            x = 1/ lg 2 ≈ 3,322

Sýnidæmi 2

Finnum lg 2 með því að nota náttúrulegan logra.

Við breytum lg í ln með því að deila með ln 10.

    lg 2 = ln 2/ ln 10 ≈ 0,693/2,303 ≈ 0,3

Sýnidæmi 3

Leysum eftirfarandi jöfnu:

            lg x + ln x = 2

ln 10∙lg x + ln 10∙ln x  = 2∙ln 10

           ln x + ln 10∙ln x = ln 102

            ln x (1 + ln 10) = ln 100

Við margföldum alla liði í jöfnu með ln 10 til þess að breyta lg í ln.

                               ln x = ln 100/(1 + ln 10) ≈ 1,3944

                                   x ≈ e1,3944 ≈ 4

Sýnidæmi 4

Leysum eftirfarandi jöfnu:

        log 2 x + log 5 x = 10
         ln x/ ln 2 + ln x/ ln 5 = 10 
         ln 5 ln x + ln 2 ln x = 10 ln 2 ln 5

        ln x(ln 5 + ln 2) = 10 ln 2 ln 5

        ln x ln 10 = 10 ln 2 ln 5

        ln x = 10 ln 2 ln 5/ ln 10 ≈ 4,845

                          x ≈ e4,845 ≈ 127

Við byrjum á því að skipta út log 2 og log 5 og setjum inn ln x deilt með ln af grunntölunni í staðinn.

Síðan eyðum við brotunum með því að margfalda alla liði í jöfnu með ln 2 og ln 5.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 4 í veldi og logrum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum