© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Jöfnur III

Kynning 3    Skurðpunktar grafa

Hvernig finnum við skurðpunkta tveggja grafa y = f(x) og y = g(x)?

Við kunnum nú þegar að finna skurðpunkta grafa við x-ásinn. Þar er y (eða hæð grafsins) = 0 og þá getum við sett f(x) = 0 eða g(x) = 0 og leyst jöfnurnar. Í skurðpunkti grafa y = f(x) og y = g(x) eru bæði gröfin í nákvæmlega sömu hæð yfir (eða undir) x-ásnum þannig að við getum búið til jöfnuna f(x) = g(x). Útkoman verður x-hnit skurðpunktsins en y-hnitið fáum við með því að setja útkomuna (x-ið okkar) inn í aðra hvora jöfnuna, annað hvort í f(x) eða g(x).

Sýnidæmi 1

Lítum nú á skurðpunkta tveggja lína f(x) = 2x − 1 og g(x) = x + 1. Við getum skoðað gröfin á eftirfarandi mynd:

Við skulum reikna út lausnina með því að leysa jöfnuna:

    2x − 1 = x + 1

    2x − x = 1 + 1

            x = 2

Finnum síðan y hnitið:

    f(2) = 2∙2 − 1 = 3

Skurðpunkturinn er (2, 3).

Sýnidæmið hér fyrir ofan sýnir að við getum leyst jöfnur á borð við 2x − 1 = x + 1 með því að teikna upp vinstri hliðina sem sérstakt fall og hægri hliðina sem sérstakt fall og lesa af skurðpunktinn. X-hnitið er lausn jöfnunnar. Þetta kallast að leysa jöfnur grafískt.

Með tilkomu grafískra reiknivéla og töflureikna getum við auðveldlega fundið nálgunargildi á lausnum jafna á grafískan hátt og sumar jöfnur er ekki hægt að leysa á annan hátt.

Sýnidæmi 2

Við skulum nú leysa jöfnuna x2 − 2x − 3 = 2x − 3. Leysum hana fyrst grafískt og síðan með algebru.

               

Við sjáum bæði af grafinu og gildistöflunni að f(x) = g(x) þegar x = 0 eða x = 4.

Með algebru verður lausnin svona:

    x2 − 2x − 3 = 2x − 3

          x2 − 4x = 0

         x(x − 4) = 0

Þannig að x = 0 eða x = 4.

Sýnidæmi 3

Leysum jöfnuna x2 − 1 = 2x − 3

Við byrjum á því að færa alla liði yfir á vinstri hlið jöfnunnar.

    x2 − 2x + 2 = 0

Þetta leysum við með lausnarformúlunni þar sem a = 1, b = −2 og c = 2.

Hér fáum við neikvæða tölu undir kvaðratrótinni þannig að jafnan er óleysanleg.

Til þess að átta okkur á því hvað veldur skulum við skoða þetta á grafi.

                           

Við sjáum að línan og fleygboginn skerast ekki og þar er komin skýringin á því hvers vegna jafnan er ekki leysanleg.

Sýnidæmi 4

Leysum jöfnuna  x3 − 3x + 2 = x2 − 2x + 1

Sem fyrr þá byrjum við á því að færa alla liði yfir á vinstri hlið jöfnunnar.

              x3 − 3x + 2 = x2 − 2x + 1

       x3 − x2  − x + 1 = 0

   (x3 − x2) − (x − 1) = 0

   x2(x − 1) − (x − 1) = 0

         (x − 1)(x2 − 1) = 0

(x − 1)(x − 1)(x + 1) = 0

Þetta gefur okkur aðeins tvær lausnir, x = 1 og x = −1, en þriðja stigs jöfnur hafa oft þrjár lausnir. Skoðum á grafi hverju þetta sætir.

                           

Við sjáum á grafinu og í gildistöflunum að gröfin skerast aðeins á tveimur stöðum. Jafnan hefur lausnirnar x = −1 og x = 1.

Sýnidæmi 5

Leysum jöfnuna  x2 = Öx

Við sjáum fljótlega að x = 0 og x = 1 eru lausnir, en eru lausnirnar fleiri? Það er ólíklegt en við skulum skoða gröfin.

Köllum vinstri hliðina f(x) = x2 og hægri hliðina g(x) = Öx, en munum að g(x) getur ekki tekið á móti neikvæðum tölum þannig að neikvæðar lausnir koma ekki til greina.

                         

Grafið upplýsir að lausnirnar eru aðeins þessar tvær eða x = 0 og x = 1. Svona má hins vegar reikna þetta:

 

x2 = Öx

x4 = x  

x4 − x = 0

x(x3 − 1) = 0

 Hefjum báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi til þess að eyða ferningsrótinni.

 

Þetta gefur lausnirnar x = 0 og x = 1.

Sýnidæmi 6

Leysum jöfnuna ln x = x2 − 1

Þessa jöfnu getum við ekki leyst með góðu móti en við gætum dottið ofan á það eftir dálítið grufl að x = 1 gefur núll á báðum hliðum jöfnunnar og er því lausn. Þá er spurning hvort aðrar lausnir eru til. Skoðum það á grafi.

                           

Grafið sýnir að lausnirnar eru tvær. Önnur lausnin er nákvæmlega x = 1 vegna þess að ef við setjum veldisvísinn 0 á grunntöluna e þá fáum við út 1.

Taktu eftir því hvernig við getum þétt útreikningana í gildistöflunni þegar tölurnar í útkomudálkunum taka að nálgast. Með því að þétta þetta enn meir þá getum við fundið eins nákvæma lausn og við þurfum á að halda.

 

Sýnidæmi 7  

EXCEL   

Leysum jöfnuna ln x = x2 − 1 með reiknitækjum.

Ef við höfum aðgang að grafískum reiknivélum þá getum við teiknað gröf hægri og vinstri hliðar í sama hnitakerfið (sjá föll I, kynning 1) og notað „Zoom (shift F2)“og síðan „Trace (shift F1)“ til þess að finna nálgun á lausnunum.

Töflureiknirinn EXCEL hefur sérstakt verkfæri (goal seek) til þess að leysa svona jöfnur, en ef við ætlum að nýta okkur það þá er best að snúa jöfnunni fyrst þannig að ein tala verði á vinstri hlið.

    ln x = x2 − 1

    1 = x2 − ln x

Við skulum nú fara í EXCEL og byrja á því að skrifa upphafsgildi x eða upphaf leitarinnar í reit B2. Við getum t.d. haft það 0,1. Síðan setjum við hægri hliðina jöfnunnar í reit D2 og notum umsnúninginn x2 − ln x, en hann kom út hér fyrir ofan. Í reit D2 kemur þá eftirfarandi formúla:

    = B2^2−ln(B2)

Nú veljum við „Tools“og síðan „Goal Seek“ en þá kemur upp eftirfarandi valmynd:

Hér skrifum við D2, 1 og B2 í gluggana á valmyndinni. Með því „biðjum við„ EXCEL að láta reit D2 (set cell D2) verða 1 (To value 1) með því að breyta x-inu í reit B2 (By changing cell B2). Ef við nú veljum OK þá birtast eftirfarandi upplýsingar:

Þetta segir okkur að nálgunin x ≈ 0,45 sem við fundum í sýnidæmi 6 er býsna góð. EXCEL finnur lítið betri lausn eða x ≈ 0,4500289.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 3 í jöfnum III.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum