© 2007  Rasmus ehf  og Jóhann Ísak

Ójöfnur I

Kynning 2    Gröf ójafna og formerkjakannanir

Hvernig leysum við ójöfnuna x² − 1 0? Við getum leyst samsvarandi jöfnu en þá fáum við tvær lausnir.

                x² − 1 = 0

    (x + 1)(x − 1) = 0

    Lausnir: x = 1 og x = −1.

Við getum sem sagt fundið hvar stæðan er núll en eftir stendur að finna hvar hún er minni en núll. Með öðrum orðum, við þurfum að finna hvar hún er neikvæð. Við skulum nú skoða formerki þáttanna (x + 1) og (x − 1) og nota talnalínuna sem viðmið fyrir x-in sem við setjum inn í svigana.

Við höfum nú merkt þau svæði með + þar sem útkoman úr viðkomandi sviga er jákvæð og með − þar sem hún er neikvæð, en hvernig getum við nýtt þetta til þess að leysa upphaflegu ójöfnuna?

Jú, við vitum að vinstri hlið ójöfnunnar er margfeldi sviganna.

    (x + 1)(x − 1) = x² − 1

Við vitum einnig að −∙− = + og +∙− = − þannig að útkoman verður jákvæð þar sem svigarnir hafa sama formerki, en þar sem formerkin eru gagnstæð þar verður útkoman neikvæð og þar hefur ójafnan lausn.

Við skulum nú fullgera formerkjakönnunina.

                                    Á þessu bili er lausnin.

                                                −1 x 1

Athugum nú hvernig við getum gengið beint til verks án þess að þátta vinstri hliðina.

Við setjum niður núllpunktana fyrst og prófum síðan hvaða formerki fæst með því að velja eitthvert gildi á x á milli núllstöðvanna.

Ef  við veljum t.d. x = 0 (það er einfaldast) þá fáum við eftirfarandi:

    Ef f(x) = x² − 1 þá er f(0) = 0² − 1 = −1.

Þar með höfum við fundið út að f(x) = x² − 1 gefur neikvæðar útkomur á bilinu −1 x 1 og formerkjakönnunin verður bara svona:

                                                                lausn

Við getum einnig lesið lausnina af grafi.

Lausn ójöfnunnar x² − 1 0 birtist þar sem graf f(x) = x² − 1 sker x-ásinn og er undir honum. Skoðum þetta á mynd.

Grafið er undir og á x-ásnum á bilinu −1 x 1 (sjá litaða svæðið).

Hvað ef ójöfnumerkið snéri á hinn veginn og ójafnan hefði verið x² − 1 0?

Þá læsum við af grafinu hvar graf f(x) er fyrir ofan x-ásinn eða læsum úr formerkjakönnuninni hvar stæðan er jákvæð.

                  Lausn: x −1                                  Lausn: x 1

Lausnin á ójöfnunni x² − 1  0 er því sitt hvor hlutinn af talnalínunni x −1 eða x 1.

Sýnidæmi 1

Leysum ójöfnuna x² − 2x − 3 < x + 1.

    Leysum fyrst jöfnuna x² − 2x − 3 = x + 1

        x² − 2x − 3 = x + 1

        x² − 3x − 4 = 0

    (x + 1)(x − 4) = 0

    Lausnir: x = −1 og x = 4

    Gerum nú formerkjakönnun.

                                                     Lausn:  −1 < x < 4

Skoðum þetta einnig á grafi. Lausnin hlýtur að koma fram þar sem vinstri hliðin f(x) = x² − 2x − 3 er undir (minni en) g(x) = x + 1 (sjá litaða svæðið).

Sýnidæmi 2

Leysum ójöfnuna  

Við skulum byrja á því að gera formerkjakönnun fyrir svigana (x +  1) og (x − 1).  Við þurfum að muna eftir því að sams konar reglur gilda um formerki í margföldun og deilingu (−/− = + og −/+ = −). Mismunandi formerki gefa mínus en eins formerki gefa plús.

                   
                                                                    Lausn

En nú þurfum við að gá að okkur. X-ið getur ekki orðið 1 vegna þess að þá er deilt með núlli. Lausnin er því −1 x < 1.

Skoðum nú þetta á grafi en gerum fyrst gildistöflu.

Grafið hefur lóðfellu í x = 1 og er fyrir neðan x-ásinn á bilinu −1 til 1 (sjá litaða svæðið).

Sýnidæmi 3               

Leysum ójöfnuna      

Við byrjum á því að fá núll á vinstri hlið ójöfnunnar þannig að við getum notað formerkjakönnun til þess að leysa ójöfnuna.

Hér setjum við á eitt strik og einföldum.

Síðan gerum við formerkjakönnun.

        
                                                    Lausn x < 1

Nú skulum við skoða þetta á grafi og teikna upp hægri og vinstri hlið ójöfnunnar. Vinstri hliðin er sú sama og í sýnidæmi 2 en hægri hliðin er línan g(x) = 1 (lárétt lína í hæðinni 1).

Sýnidæmi 4

Leysum ójöfnuna x² < x.

    Jafnan x² = x hefur aðeins lausnirnar x = 0 og x = 1.

    x² < x

Prófum nú einhverja tölu á milli núllstöðvanna, t.d. ¼.

        f(x) = x² − x

Við fáum neikvæða útkomu þannig að formerkjakönnunin verður eftirfarandi:

    ekki til             
                                                Lausn: 0 < x < 1

Skoðum þetta nú á grafi.

Á bilinu 0 til 1 er graf f(x) = x² fyrir neðan  graf g(x) = x (sjá litaða svæðið).

Sýnidæmi 5

Leysum ójöfnuna ln x  ln ¹/_x.

Við einföldum eins og kostur er og fáum núll á hægri hlið til þess að geta notað formerkjakönnun.

                 ln x  ln ¹/_x

                     x ¹/_x

                    x² 1

             x² − 1 0

  (x + 1)(x − 1) 0

Nú getum við gert formerkjakönnun, en aðeins fyrir jákvæð x vegna þess að ln-fallið er ekki til fyrir neikvæð x.

                 Lausn: 0 < x 1

Við skulum nú skoða þetta á grafi.

Við sjáum að graf f(x) er undir grafi g(x) (sjá litaða svæðið) á bilinu 0 til 1, en núllið getur ekki verið með í lausninni vegna þess að ln 0 er ekki til og það mundi valda deilingu með núlli á hægri hlið upphaflegu ójöfnunnar.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 2 í ójöfnum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum