© 2007 Rasmus ehf og Jóhann Ísak
Þríhyrningar
© 2007 Rasmus ehf og Jóhann Ísak |
Þríhyrningar |
|
Lína sem snertir hring aðeins í einum punkti nefnist snertill. Snertill myndar ávalt 90° horn við radíus hringsins.
Lína sem skiptir horni í tvö jafn stór horn nefnist helmingalína. Á helmingalínu horns er sérhver punktur í sömu fjarlægð frá báðum örmum hornsins. Hringur sem snertir sitt hvorn arminn hlýtur því að hafa miðju á helmingalínunni.
Á myndinni er lína gegnum V og O helmingalína hornsins V. Línustrikin VA og AB eru jafn löng og hornrétt á AO annars vegar og BO hins vegar.
Á eftirfarandi mynd er hornið V = 40° og línustrikin VA og VB 40 cm. Finnum hornið AOB og radíus hringsins.
VAOB er ferhyrningur með hornasummuna 360° og þrjú þekkt horn. Því gildir eftirfarandi:
x° = 360° − 90° − 40° − 90° = 140°
Ef við drögum helmingalínu 40° hornins frá V til O þá fáum við rétthyrndan þríhyrning með hornin 20°, 90° og 70°. Þá gildir eftirfarandi:
tan 20° = r/40
r = 40∙tan 20° ≈ 14,6 cm
Helmingalína horns í þríhyrningi skiptir mótlægri hlið í sömu hlutföllum og eru á milli hliðanna sem liggja að horninu.
Helmingalína A skiptir hér hliðinni a í hlutföllunum c/b. Eftirfarandi gildir:
Hliðarnar í þríhyrningnum ABC eru eftirfarandi:
a = 30 cm, b = 40 cm og c = 20 cm.
Helmingalína hornsins A skiptir hliðinni a í tvo hluta. Reiknum lengd hlutanna.
Hliðin a skiptist í 10 cm og 30 − 10 = 20 cm hluta.
Í öllum þríhyrningum getum við fundið einn punkt sem er í sömu fjarlægð frá öllum hliðum hans. Í þessum punkti hljóta allar helmingalínur horna þríhyrningsins að skerast og þar er miðja hrings sem snertir allar hliðarnar. Slíkur hringur nefnist innritaður hringur.
Við sjáum að helmingalínurnar AO, BO og CO skipta þríhyrningnum upp í þrjá minni þríhyrninga sem allir hafa hæðina r. Flatarmál þeirra er ½∙a∙r, ½∙b∙r og ½∙c∙r. Samanlagt flatarmál alls þríhyrnings verður þá eftirfarandi:
F = ½∙a∙r + ½∙b∙r + ½∙c∙r = ½∙r(a + b + c)
Og þar sem ummál þríhyrningsins u er a + b + c verður endanleg formúla svona:
Það er einnig til punktur innan eða utan við þríhyrning sem er í sömu fjarlægð frá öllum hornpunktum hans. Í umræddum punkti er miðja hrings sem sker alla hornpunkta þríhyrningsins. Hann nefnist umritaður hringur.
Myndin hér fyrir ofan sýnir þríhyrninginn ABC með umrituðum hring. Einnig eru teiknaðir tveir rétthyrndir þríhyrningar, ACE sem verður til þegar hæðin h er dregin á grunnlínuna c og BCD sem verður til þegar strengur er teiknaður frá C í gegnum miðpunkt hringsins að punktinum D á hringnum. Þríhyrningarnir ACE og BCD eru einslaga vegna þess að báðir eru rétthyrndir og auk þess spanna hornin A og D sama boga (bogann CB) og eru því jafn stór. Við getum því sett upp eftirfarandi umritun á hæðinni h:
Ef við setjum þetta inn í formúluna fyrir flatarmáli þríhyrnings F = ½∙c∙h þá fáum við eftirfarandi formúlu:
Við hefðum einnig getað sett þetta upp svona:
Út frá þessu fáum við eftirfarandi reglu:
Og ef við einöngrum h = b∙sin A og setjum inn í flatarmálsregluna F = ½∙c∙h þá fáum við eftirfarandi flatarmálsreglu:
F = ½∙b∙c∙sin A
Þríhyrningur hefur hliðarnar 17 cm, 17 cm og 16 cm.
a) Finnum flatarmálið.
Notum Pýþagórasarreglu til þess að finna hæðina h.
h2 + 82 = 172
h2 = 289 − 64 = 225
h = 15 cm
Nú getum við reiknað flatarmálið
F = ½∙16∙15 = 120 cm2
b) Finnum nú radíus innritaðs hrings.
Ummálið u = 17 + 17 + 16 = 50 cm.
F = 120 = ½∙r∙50
r =120∙2/50 = 4,8 cm
c) Þá skulum við næst finna radíus umritaðs hrings.
F = 120 = 17∙17∙16/4R
480R = 17∙17∙16
R = 17∙17∙16/480 = 289/30 ≈ 9,6 cm
d) Finnum að lokum hornin í þríhyrningnum.
Þá er B ≈ 62° og C ≈ 180 − 2∙62 ≈ 56°.
Miðlínur í þríhyrningi eru línur frá hornpunkti að miðpunkti mótlægrar hliðar. Þær skerast allar í einum punkti og skurðpunkturinn skiptir miðlínunum í hlutföllunum 1: 2.
Á myndinni hér fyrir ofan eru M1, M2 og M3 miðpunktar hliða þríhyrningsins. Miðlínurnar skerast í punktinum T sem skiptir M1C í hlutana x og 2x.
Miðlínurnar skipta þríhyrningi í sex minni þríhyrninga (1-6 á myndinni) sem allir hafa sama flatarmálið. Þetta hefur það í för með sér að T er þyngdarpunktur þríhyrningsins. Þríhyrningur úr einsleitu og jafn þykku efni á að geta haldið jafnvægi á blýantsoddi sem stungið er í þyngdarpunktinn.
Í jafnhliða þríhyrningi er eru miðjur innritaðs og umritaðs hrings í sama punktinum. Miðlínurnar skerast í þessum punkti og sama gildir um hæðirnar á hliðarnar.
Miðlína í þríhyrningi er 24 cm löng. Reiknum í hve langa búta hinar miðlínurnar skipta henni.
x + 2x = 24
3x = 24
x = 8
Miðlínan skiptist í 8 cm og 16 cm hluta.
Þríhyrningur hefur hornpunktana A = (−4, −4), B = (12, 0) og C = (4, 16). Reiknum út skurðpunkt miðlínanna.
Við skulum byrja á því að finna miðpunkt hliðarinnar a sem er meðaltal hnita B og C.
Finnum nú jöfnu miðlínunnar í gegnum A = (−4, −4) og (8, 8).
Hallatalan k = (8 + 4)/(8 + 4) = 1
Setjum þetta inn í skurðhallajöfnuna:
y = k(x − x1) + y1
y = 1(x − 8) + 8
y = x
Finnum næst miðpunkt hliðarinnar b sem er meðaltal hnita A og C.
Þá er næst að finna jöfnu línu í gegnum B og miðpunktinn á móti.
k = (0 − 6)/(12 − 6) = −½
y = −½(x − 0) + 6
y = −½x + 6
Leysum nú saman jöfnurnar y = x og y = −½x + 6.
x = −½x + 6
x + ½x = 6
1½x = 6
x = 4 og þar af leiðandi er y = 4
Skurðpunktur miðlínanna er (4, 4).
Sérstök regla gildir fyrir línur frá hornum þríhyrnings að einhverjum punkti (X, Y eða Z) á mótlægri hlið ef þær skerast allar þrjár í sama punktinum (P). Reglan er kennd við ítalska stærðfræðinginn Giovanni Ceva og er kölluð Cevaregla.
Reglan er eftirfarandi:
Reglan gildir einnig fyrir miðlínur og helmingalínur og raunar allar línur sem liggja frá hornum þríhyrnings og skerast í einum punkti og skipta mótlægu hliðunum.
Finnum í hve langa búta punkturinn Z skiptir hliðinni a (17 cm) í þríhyrningnum á myndinni hér fyrir neðan.
Við köllum x = BZ, en þá er ZC = 17 − x. Síðan setjum við beint inn í regluna:
Þetta merkir að Z skiptir hliðinni í því sem næst 5,5 cm og 11,5 cm búta.
Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf
2 í þríhyrningum.
ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum