© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Þríhyrningar

Kynning 3     Sínus- og kósínusregla

Í kynningu 2 fundum við regluna

Þessa reglu getum við fullt eins vel leitt út frá horninu B og hliðinni b sem er mótlæg við það horn eða út frá horninu C og mótlægu hliðinni c. Þetta gefur okkur eftirfarandi reglu, sem nefnd hefur verið sínusreglan:

Þessa reglu má nota þegar horn og mótlæg hlið í þríhyrningi eru þekkt auk einnar hliðar eða horns til viðbótar. Ef eitthvað þrennt er þekkt og horn ásamt mótlægri hlið eru hluti af því þá má finna með reglunni allar aðrar óþekktar hliðar og horn. Þetta er því helsta grundvallarregla í landmælingum og kortagerð. Henni má skipta upp í eftirfarandi þrjár reglur sem má nota til skiptis eftir því hvaða horn og hliðar eru þekktar hverju sinni.

Á myndinni hér fyrir neðan stendur þríhyrningurinn á mismunandi hliðum líkt og honum hafi verið velt til hægri. Reiknum nú flatarmálið út frá horninu sem merkt er hverju sinni og aðlægum hliðum þess. Önnur aðlæga hliðin er þá grunnlína hverju sinni.

         F = ½∙c∙h                                  F = ½∙a∙h                                 F = ½∙b∙h

   Notum regluna sin x = mótlæg skammhlið/langhlið.

     sin A = h/b                                    sin B = h/c                               sin C = h/a         

        h = b∙sin A                                  h = c∙sin B                              h = a∙sin C

    Flatarmálið verður þá eftirfarandi:

Þessar reglur má bæði nota til þess að reikna flatarmálið og til þess að leiða út sínusregluna, en það er gert með því að deila í gegn með ½∙a∙b∙c.

     ½∙b∙c∙sin A = ½∙a∙c∙sin B  = ½∙a∙b∙sin C = F

Þetta gefur eftirfarandi útlit á sinusreglunni:

Sýnidæmi 1

Í hvasshyrndum þríhyrningi er hliðin a = 12 cm, hliðin c = 13 cm og hornið A = 60°. Finnum hornið C, hliðina b og flatarmál þríhyrningsins.

Teiknum fyrst mynd til þess að átta okkur.

Byrjum á því að setja upp sínusregluna og reikna hornið C.

            B ≈ 180° − 69,75° − 60° ≈ 50,25° ≈ 50°

Síðan setjum við upp regluna aftur til þess að reikna hliðina b.

Loks notum við flatarmálsregluna og finnum flatarmálið.

    F = ½∙b∙c∙sin A ≈ ½∙10,7∙13∙sin 60° ≈ 60 cm²

Sýnidæmi 2

Í gleiðhyrndum þríhyrningi er hliðin a = 12 cm, hliðin c = 13 cm og hornið A = 60°. Finnum hornið C, hliðina b og flatarmál þríhyrninngsins.

Þetta er nákvæmlega sama dæmið og sýnidæmi 1 að öðru leyti en því að nú er þríhyrningurinn gleiðhyrndur þannig að eitt hornið er meira en 90°.

Þegar við fundum hornið C í sýnidæmi 1 gerðum við ráð fyrir að reiknivélin gæfi okkur rétta lausn enda var tekið fram að þríhyrningurinn væri hvasshyrndur. Útreikningarnir voru eftirfarandi:

Þessi lausn gefur ekki gleiðhyrndan þríhyrning. Hins vegar eru tvær lausnir á jöfnunni: sinC = 0,9382

Rifjum upp regluna sem gefur okkur hina lausnina. Hún er svona:

   sin v° = sin (180° − v°)

Hin lausnin verður samkvæmt reglunni C ≈ 180° − 70° ≈ 110° 
og hornið sem eftir er verður þá B ≈ 180° − 60° − 110° ≈ 10°

En hvaða skýring er á því að mögulegar lausnir  eru tvær ? Skoðum það á mynd.

Við teiknum fyrst upp 13 cm grunnlínu og 60° horn við annan endann sem við köllum A. Hinn endann köllum við B. Þar stingum við niður sirkli og teiknum hring með radíus 12 cm. Hann sker arm 60°hornsins A á tveimur stöðum og við veljum þann möguleika sem gefur gleiðhyrndan þríhyrning (sem er litaður á myndinni).

Setjum nú upp sinusregluna fyrir þennan þríhyrning og finnum hliðina b.

Þá eigum við bara eftir að reikna flatarmálið.

   F = ½∙b∙c∙sin A ≈ ½∙2,4∙13∙sin 60° ≈ 13,5 cm²

Sýnidæmi 3

Í gleiðhyrndum þríhyrningi er hliðin a = 15 cm, hliðin c = 6 cm og hornið A = 60°. Finnum hornið C og hliðina b.

Teiknum þríhyrninginn upp eins rétt og við getum.

Setjum enn upp sinusregluna.

             B  ≈ 180° − 60° − 20,27° ≈ 99,73° ≈ 100°

Þá reiknum við næst út hliðina b.

Þetta stenst samanburð við teikninguna. Við þurfum því ekki að hafa neinar áhyggjur. Það er ekki hægt að setja þennan þríhyrning saman á annan hátt.

Af sýnidæmunum hér fyrir ofan og myndinni hér fyrir neðan getum við dregið eftirfarandi ályktun:

Sýnidæmi 4

Í þríhyrningi er hliðin c = 12 cm og hornið A = 60° og hornið B = 80°. Finnum hliðarnar b og c.

Teiknum fyrst mynd. Við byrjum á því að teikna 12 cm grunnlínu og reisum upp hornin. Hér eu öll hornin þekkt og ekki er hægt að teikna þríhyrninginn nema á einn veg. Við getum því óhikað notað sínusregluna.

Nú vantar okkur mótlægt horn þannig að við byrjum á því að reikna út hornið C.

   C = 180° − 60° − 80° = 40°

Nú getum við notað sinusregluna til þess að finna hliðina a.

Loks finnum við hliðina b.

Við höfum nú séð að sínusregluna má nota til þess að reikna út horn og hliðar í þríhyrningum þegar ein hlið og tvö horn eru þekkt (sjá sýnidæmi 4). Einnig höfum við komist að því að sínusregluna má nota til þess að reikna horn og hliðar ef við þekkjum tvær hliðar og eitt mótlægt horn (sjá sýnidæmi 1-3), en þá þurfum við stundum að vita hvort þríhyrningurinn er hvass- eða gleiðhyrndur ef við ætlum að skila einni niðurstöðu. Ef upplýsingarnar duga til þess að teikna þríhyrninginn nákvæmlega þá getum við reiknað hann út.

Hvað með þríhyrning þar sem tvær hliðar eru þekktar og hornið á milli þeirra eða þríhyrning þar sem allar hliðar eru þekktar en ekkert horn. Slíka þríhyrninga getum við teiknað nákvæmlega og það ætti því að vera mögulegt að reikna út horn og hliðar þeirra. En sínusreglan dugar ekki. Við verðum að reyna eitthvað annað.

Setjum upp tvær formúlur yfir hæðina h með því að nota reglu Pýþagórasar.

   h² = a² − x²    og    h² = c² − (b − x)² = c² − b² + 2∙b∙x − x²

Setjum þetta saman í eina reglu.

   c² − b² + 2∙b∙x − x² =  a² − x²

Leysum þetta með tilliti til  c².

   c² = a² + b² − 2∙b∙x

Nú getum við losað okkur við x-ið í formúlunni með því að nota okkur hornafallaregluna cos C = x/a sem við umritum á formið x = a cos C. Þetta setjum við inn í formúluna sem verður þá eftirfarandi:

Þessi formúla nefnist kósínusregla og hana má nota til þess að reikna út hliðina c ef hliðarnar a og b eru þekktar og hornið C á milli þeirra (sjá myndina hér fyrir  ofan).

Kósínusregluna má leiða út á svipaðan hátt fyrir gleiðhyrnda þríhyrninga og gildir jafnt fyrir þá og þar með alla þríhyrninga. Regluna má einnig leiða út frá öðrum hornum og hliðum. Þannig fáum við eftirfarandi afbrigði:

Kósínusregluna má nota til þess að reikna út horn en þá þarf að leysa hana með tilliti til cos C og finna síðan hornið í reiknivél. Skoðum þetta.

                 c² = a² + b² − 2∙b∙a∙cos C

  2∙b∙a∙cos C = a² + b² − c²

Ef við nú deilum í gegn með 2ab þá fáum við eftirfarandi reglu:

Við getum einnig leyst hin afbrigðin af kósínusreglunni á sama hátt, en þá fáum við eftirfarandi reglur:

Sýnidæmi 5

Í þríhyrningi er hliðin c = 12 cm og hliðin b = 15 cm. Hornið A á milli hliðanna b og c er 60°. Finnum hliðina a, hornið C og flatarmálið.

Teiknum fyrst mynd.

Notum afbrigðið með cos A.

   a² = b² + c² − 2∙b∙c∙cos A

        = 15² + 12² − 2∙15∙12∙cos 60°

        = 225 + 144 − 180 = 189

Nú getum við notað sinusregluna til þess að finna hornið C (við getum einnig notað kósinusregluna).

Þá er aðeins eftir að finna flatarmálið.

  F = ½∙b∙c∙sin A ≈ ½∙15∙12∙sin 60° ≈ 78 cm²

Sýnidæmi 6

Í þríhyrningi er hliðin a = 12 cm, hliðin b = 11 cm og hliðin c = 13 cm. Finnum flatarmálið.

Til þess að reikna flatarmálið þurfum við að vita eitt horn. Við skulum því reikna hornið C með kósínusreglunni.

C = cos-1(4/11)

C ≈ 68,7°

Nú getum við reiknað flatarmálið.

   F = ½∙a∙b∙sin C ≈ ½∙12∙11∙ sin 68,7° ≈ 61,5 cm²

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 3 í þríhyrningum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum