© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Vigrar.

Kynning 1

Summa vigra, mismunur vigra og margföldun með tölu

Margar stærðir eru háðar stefnu en ekki stað, sérstaklega mælistærðir af ýmsum toga. Færsla er t.d. slík stærð. Ef færðir eru tveir sams konar hlutir 5 m til norðurs á tveimur mismunandi stöðum þá getum við litið á það sem sömu færslu ef aðstæður eru þær sömu (t.d.á sléttu gólfi).

Í stærðfræðinni er venja að tákna stefnubundnar stærðir með örvum sem kallaðar eru vigrar. Lengdir og stefnur örvanna eru þá hafðar lýsandi fyrir stærðina. Í stærðfræðibók mætti þannig tákna 5 m færslu til norðurs með 5 cm ör lóðrétt upp eftir blaðsíðunni og 2 m færslu til austurs með 2 cm langri láréttri ör til hægri (sbr. vigrana  og  á myndinni).

Í rituðu máli eru vigrar jafnan táknaðir með litlum bókstöfum með striki yfir eða með upphafs- og endapunktum með ör yfir (t.d.  ef A er upphafspunktur og B endapunktur).

Örvar sem allar benda í sömu átt (eru samsíða) og eru jafn langar tákna allar sama vigurinn. Vigrar eru óháðir staðsetningu og ber að líta á þá sem gildandi í allri talnasléttunni (rétthyrnda hnitakerfinu).

Á myndinni mér fyrir neðan höfum við örvarnar AE, FK og DH sem allar eru jafn langar og með sömu stefnu. Allar þessar örvar tákna sama vigurinn eða vigurinn . Til viðbótar getum við sagt að ímynduðu örvarnar BF, CG, EJ, GL og NM sýni allar vigurinn .

Á myndinni sjáum við að örin LG er samsíða örinni FK en með gagnstæða stefnu. Við getum því litið svo á að örin LG sýni vigurinn −.

Við skulum nú skoða fleiri möguleika.

Ef örin AE sýnir vigurinn  þá hlýtur tvöfalt lengri ör eins og örin BK að sýna vigurinn 2. Á sama hátt getum við sagt að ef örin BD sýnir vigurinn  þá hlýtur örin GH að sýna ½∙ enda er hún aðeins helmingur af BD. Niðurstaðan af þessum vangaveltum er eftirfarandi:

Á myndinni hér fyrir neðan höfum við tengt saman tvær örvar sem báðar sýna vigurinn .

Það er rökrétt að álykta að  +  jafngildi 2. Það er einnig rökrétt að álykta að ef við tengjum saman tvær örvar sem sýna  þá fáum við 2. Það kemur því ekki á óvart að samlagning vigra er fólgin í því að tengja þá saman.

Á myndinni hér fyrir ofan sýnir örin AE vigurinn  og örin KM sýnir vigurinn . Örin BK er samsíða AE en helmingi lengri. Með því að tengja saman BK (2) og KM () höfum við fengið vigurinn 2 +  sem örin BM sýnir.

Sýnidæmi 1

Á myndinni hér fyrir neðan sýnir örin AE vigurinn , örin AC sýnir vigurinn  og AM sýnir vigurinn .

Við skulum nú tjá vigurinn  með  og . Það getum við gert með því að tvöfalda  (með því að bæta örinni EJ við AE) og bæta síðan 1½  við. Skoðum þetta á mynd.

Niðurstaðan er  = 2  + 1½ .

Þessi aðgerð hefur verið kölluð að skipta vigrinum  upp í liði samsíða vigrunum  og . Liðirnir eru þá 2 og 1½ .

Sýnidæmi 2

Notum sömu vigra og sama punktakerfið og í sýnidæmi 1 til þess að finna ör sem sýnir vigurinn  − .

Við skulum byrja á að staðhæfa að  −  sé sami vigur og      + (− ). Til þess að fá betra pláss getum við byrjað á því að teikna vigurinn  út frá punktinum G þannig að örin GL sýni hann. Síðan getum við bætt við ör sem er jafn löng vigrinum  en er með stefnu til vinstri í stað hægri. Niðurstaðan verður vigurinn .

Við sjáum af myndinni hér fyrir ofan að mismunur  og  getur einnig verið vigurinn  (sem er sami vigur og ). Við höfum því tvær aðferðir til þess að finna mismun vigra.

Mismun vigranna  og  má finna með því að snúa vigrinum  við og tengja hann við endann á . Einnig má teikna  og  út frá sama punktinum. Þá er  −  vigur frá endapunkti  að endapunkti .

Þar sem stærð vigurs er tjáð með lengd örvar með tiltekna stefnu verðum við að oft að grípa til hornafræðinnar, t.d. til þess að finna stefnu samanlagðra vigra eða lengd vigurs. Hefð er fyrir því að tjá lengd vigurs með tölugildismerki.

Lengd vigursins  er táknuð með

Sýnidæmi 3

Í byggingariðnaði er mikilvægt að geta reiknað út samspil allra krafta sem verka á einstaka hluta bygginga. Hugsum okkur að eftirfarandi kraftar verki á tiltekinn hlut. Finnum hvaða áhrif þeir hafa í sameiningu.

Finnum summu vigranna með því að tengja þá saman.

Samtengingin endar einni rúðu fyrir neðan upphafspunkt fyrsta vigursins í samtengingunni. Í sameiningu toga kraftarnir því beint niður með krafti sem samsvarar einni rúðu á myndinni.

Sýnidæmi 4

Notum sömu vigra og í sýnidæmi 3 og finnum  −  −  + .

Við snúum vigrunum  og  og tengjum síðan  alla vigrana saman.

Niðurstaðan er rauði vigurinn á myndinni sem nær frá upphafspunki samtengingarinnar að endapunkti hennar. Taktu eftir því að við höfum fært til vigurinn  til þess að nýta betur rúðukerfið enda skiptir staðsetning vigra ekki máli. Og við hefðum heldur ekki þurft rúðukerfi eða hnitakerfi til þess að teikna þetta. Rúðukerfið í dæmunum hér fyrir ofan er aðeins til hægðarauka og ásarnir hafa ekki þýðingu en við munum nota hnitakerfið í kynningu 2.

Sýnidæmi 5

| | getum við fundið með reglu Pýþagórasar.

   | |² = 24² + 7²

              = 576 + 49 = 625

    | | =

              = 25 sjómílur/klst.

Hornið A finnum við með reglunni

    tan A = mótlæg skammhlið/aðlæg skammhlið.

              = 7/24

           A = tan ⁻¹(7/24) ≈ 16°

Sýnidæmi 6

Ferjumaður ætlar að sigla yfir 100 m breitt fljót. Hann getur siglt á hraðanum 3 m/s og straumurinn í fljótinu er 1 m/s.

a)   Reiknum hve langan tíma það tekur manninn að sigla yfir fljótið ef hann fer þvert á strauminn.

      Hér skiptir straumurinn ekki máli vegna þess að maðurinn gerir ekkert til þess að vinna gegn honum. Við reiknum aðeins með siglingarhraðanum hornrétt á bakkann.

         100 m/3 m/s = 33⅓ s

b)   Reiknum hraða bátsins ef ferjumaðurinn siglir þvert á strauminn.

      Nú skulum við teikna þetta upp og leggja saman vigrana sem sýna hraða bátsins annars vegar og straumhraðann hins vegar.

Hér getum við notað reglu Pýþagórasar.

   x² = 3² + 1² = 9 + 1 = 10

     x = ≈ 3,2 m/s

c)   Reiknum nú út hve langt undan straumi báturinn hrekst.

Í þríhyrningnum hér fyrir neðan sýnir langhliðin þá leið sem báturinn fer og lengri skammhliðin sýnir stystu leið yfir fljótið (100 m). Skammhliðin x er vegalengdin sem báturinn berst undan straumi.

Þríhyrningurinn hér fyrir ofan er einslaga þríhyrningnum sem hraðavigrarnir í b-lið mynda.

1/3 = x/100

Við margföldum í gegn með 100.

      x = 100/ 3 = 33⅓ m

Við sjáum nú að þetta var óþarflega flókin leið. Við vitum að ferðin tekur 33⅓ s og á þeirri leið hrekst hann undan sem nemur 1 m fyrir hverja sekúndu eða samtals 33⅓ m. En ef dæmið er reiknað eins og gert er hér fyrir ofan sýnir það vel tengsl vigurreikninga og þríhyrninga.

d)   Reiknum nú undir hvaða horni miðað við bakkann ferjumaðurinn þarf að sigla ef hann ætlar að        beita bátnum upp í þannig að hann hrekist ekki undan straumnum og fari stystu leið yfir ána?

Ferjumaðurinn þarf að beita upp í strauminn til mótvægis móti því sem bátinn hrekur undan, eða sem nemur einum metra fyrir hverja þrjá sem hann siglir. Við höfum því eftirfarandi þríhyrning og þurfum að reikna hornið y°.

         y° = sin⁻¹(1/3) ≈ 19,5°

e)   Reiknum nú hraða bátsins þegar honum er beitt upp í strauminn þannig að hann sigli beint yfir fljótið.

Nú siglir báturinn dálítið á ská (19,5°) upp í strauminn. Miðað við kyrrt vatn er hraði hans 3 m/s. Hraði straumsins er sem fyrr 1 m/s. Teiknum upp þessa stöðu.

Summu vigranna getum við enn sem fyrr reiknað með reglu Pýþagórasar.

   x² + 1² = 3²

           x² = 9 − 1 = 8

            x = Ö8 ≈ 2,8 m/s

---

Sýnidæmi 7

Sleði er dreginn áfram þannig að togað er í tvo spotta sem bundnir eru í eina lykkju framan á miðjum sleðanum. Á milli spottanna er 60° horn og togað er með 100 N krafti í hvorn spotta fyrir sig. Finnum hve mikill samanlagður kraftur nýtist til þess að knýja sleðann beint áfram. Teiknum fyrst mynd.

Nú verðum við að leggja saman báða vigrana með því að tengja þá saman og nota síðan þríhyrningareikninga.

Vigurinn x sem við leitum að skiptir 60° horninu í tvennt þannig að við fáum jafnarma þríhyrning með tveimur 30° hornum og síðan einu gleiðu 120° horni. Nú getum við reiknað út x með sínusreglunni.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 1 í vigrum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum