© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Vigrar

Kynning 3 

Hnitareikningar með vigrum

Sýnidæmi 1

Hugsum okkur að punkturinn A hafi hnitin (2, 2) og punkturinn B hnitin (6, 5) (sjá mynd). Hnit vigursins verða:

Við getum nú notað fjarlægðarregluna til þess að finna vegalengdina á milli A og B og þar með lengd vigursins (Sjá Reglu Pýþagórasar, kynningu 2). Reglan er svona:

Ef við setjum inn í regluna fáum við eftirfarandi:

Í ljós kemur að undir kvaðratrótinni fáum við hnit vigursins enda er þetta ekkert annað en Pýþagórasarregla sett upp fyrir þríhyrninginn hér fyrir ofan.

Formúla fyrir lengd vigurs er eftirfarandi ef uppafspunkturinn er A = (x₁, y₁) og endapunkturinn B = (x₂, y₂). 

Ef við hins vegar þekkjum hnit vigursins þá gildir eftirfarandi:

Sýnidæmi 2

Finnum vigurinn sem er samsíða vigrinum  en aðeins tveggja eininga langur (sjá mynd).

Þríhyrningarnir á myndinni eru einslaga þannig að || = t∙||. Talan t hlýtur að vera hlutfallið á milli hliða þríhyrninganna eða  = . Við getum því fundið hnitin á eftirfarandi hátt:

Ef vigrarnir og eru samsíða þá gildir eftirfarandi regla:

= t∙

Sýnidæmi 3

Finnum hvort vigrarnir  og eru samsíða.

Ef vigrarnir eru samsíða þá er til tala t þannig að jafnan = t∙ gildi og síðan er til önnur tala r þannig að jafnan = r∙ gildi einnig. Við getum nú fundið t og r út frá x-hnitunum og athugað hvort jafnan gildir þá einnig fyrir y-hnitin.

= t∙

   3 = t∙13½ gefur t = 3/13½ =2/9

   4 = t∙18 gefur einnig t = 4/18 = 2/9

Vigrarnir og eru samsíða

= r∙

  3 = r∙6 gefur r = ½

  4 = r∙9 gefur hins vegar r = 4/9

Vigrarnir og eru ekki samsíða (og þá eru og ekki heldur samsíða)

Vigurinn á myndinni hér fyrir ofan hefur hnitin . Uppafspunktinn er (0, 0) og endapunktinn (3, 2) þannig að vigurinn hefur greinilega sömu hnit og endapunkturinn og það gildir greinilega fyrir alla vigra sem eiga upphaf í miðpunkti hnitakerfisins eða punktinum (0, 0).

Samkvæmt þessu getum við tjáð punkt eða stað í hnitakerfinu með staðvigur rétt eins og með hnitum. Þetta getur verið ákaflega gagnlegt t.d. þegar við þurfum að færa eitthvað til í hnitakerfinu.

Sýnidæmi 4

Á myndinni hér fyrir sýnir þríhyrning. Við skulum nú hliðra honum sem nemur vigrinum .

Við höfum þá fengið staðvigra nýju hornpunktanna. Myndin hér fyrir neðan sýnir hliðrunina.

Sýnidæmi 5

Við skulum nú nota staðvigra til þess að finna miðpunkt línustriksins AB ef A = (1, 2) og B = (4, 3).

Við nefnum miðpunkt hnitakerfisins O (eins og jafnan er gert) og miðpunkt AB köllum við M. Þá gildir eftirfarandi:

    = + ½∙

Vigurinn er í raun staðvigur punktsins M og hefur sömu hnit og miðpunkturinn sem við erum að leita að. Vigurinn er staðvigur punktsins A og við hann þurfum við að bæta hálfum vigrinum . Skoðum þetta á mynd og reiknum þetta með hnitum vigranna.

Finnum fyrst hnit vigursins .

Reiknum síðan út .

    = + ½∙

Hnit M eru þau sömu og staðvigursins eða (2½, 2½).

Við getum auðveldað okkur reikningana með því að búa til formúlu til þess að finna hnit miðpunkt hvaða línustriks AB sem er.

Við sjáum að við getum nálgast miðpunktinn úr báðum áttum (sjá mynd), frá O um A til M og frá O um B til M. Við getum því sett upp tvær vigrajöfnur fyrir .     = + ½∙     = - ½∙ Við skulum nú leggja þessar tvær jöfnur saman.

2 = + ½∙ + - ½∙

Við getum sagt að staðvigur miðpunktsins línustriks sé eins konar meðaltal staðvigra endapunkta þess og ef við reiknum þetta með hnitum þá finnum við í raun meðaltal x-hnitanna annars vegar og y-hnitanna hins vegar. Þar með erum við komin með miðpunktsregluna sem við notuðum í kynningu 2 á reglu Pýþagórasar

Sýnidæmi 6

Þríhyrningur hefur hornpunktana A = (1, 2), B = (4, 3) og C = (3, 0). Finnum lengd miðlínu frá horninu A á hliðina BC.

Finnum fyrst miðpunkt BC með reglunni hér fyrir ofan.

Við köllum miðpunktinn M og finnum staðvigur hans (sjá mynd)

= ½∙ + ½∙

Miðpunktur BC hefur sem sagt hnitin M = (3½, 1½).

Finnum nú hnit vigursins .

Nú getum við loksins fundið lengd vigursins sem myndar miðlínuna.

           ≈ 2,55

Það væri ekki úr vegi að finna formúlu sem gæfi hnit skurðpunkts miðlína þríhyrnings sem er þyngdarpunktur hans (sjá punktinn T á myndinni). Við getum fundið formúluna á svipaðan hátt og regluna um miðpunkt línustriks. Við nálgumst punktinn frá O um öll þrjú hornin og leggjum síðan saman vigrajöfnurnar.

Í kynningu 2 á þríhyrningum var sagt frá því að miðlínur í þríhyrningi skerast allar í einum punkti og skipta hvor annarri í hlutföllunum 2/1. Samkvæmt því er vigurinn tvöfaldur á við þannig að 
= ∙ og = −∙. Við getum því sett upp eftirfarandi þrjár jöfnur:

= + ∙ 

= + ½∙ - ∙

= - ½∙ - ∙

Þegar við leggjum þessar þrjár jöfnur saman dettur allt út nema eftirfarandi:

3 = + +

Þegar við finnum hnit T reiknum við meðaltal x-hnitanna sér og y-hnitanna sér.

Við getum sem sagt fundið skurðpunkt miðlínanna eða þyngdarpunktinn T með því að taka eins konar meðaltal af staðvigrum hornpunktanna. Þetta er því greinilega útvíkkun á miðpunktsreglunni.

Ef við hins vegar sýndum að þetta gilti út frá öllum þremur hornunum þá hefðum við sannað að miðlínurnar hljóta að skerast í einum punkti og einnig að reglan um að miðlínurnar skipta hvor annarri í hlutföllunum 2/1 hlýtur að gilda.

Sýnidæmi 7

Finnum skurðpunkt miðlínanna eða þyngdarpunktinn T í þríhyrningi sem hefur hornpunktana A = (1, 2), B = (4, 3) og C = (3, 0) (sjá mynd).

Þyngdarpunkturinn er T = (2, 1).

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 3 í vigrum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum