© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Vigrar

Kynning 4  

 Innfeldi og hornréttir vigrar

Hvernig getum við fundið hornið á milli tveggja vigra? Kósínusreglan virðist vænleg til árangurs, en með henni getum við reiknað horn á milli tveggja aðlægra hliða í þríhyrningi (sjá kynningu 3 á þríhyrningum). Við getum búið til þríhyrning úr tveimur vigrum og og - (sjá kynningu 1 á vigrum), en skoðum þetta nánar á mynd.

Í þessu tilviki getum við auðveldlega talið út hnit vigranna en við skulum reikna þetta með almennum hnitum:

Kósínusreglan er eftirfarandi:

    c ² = a ² + b ² − 2∙b∙a∙cos C

Hér samsvarar || hliðinni a í reglunni, || hliðinni b, | - | hliðinni c og hornið C heitir hjá okkur v°. Við skulum nú setja okkar tákn inn í regluna.

| - |² = ||² + ||² - 2∙||∙ ||∙cos v°

Nú getum við notað fjarlægðarregluna til þess að finna lengdir vigranna en annað veldið gerir það að verkum að kvaðratrótin fellur út.

    (x_a − x_b)² + (y_a − y_b)² = x_a² + y_a² + x_b² + y_b² − 2∙||∙ ||∙cos v° 

Ef við hefjum svigana í annað veldi verður vinstri hliðin svona:

   x_a² − 2x_ax_b + x_b² + y_a² − 2y_ay_b + y_b²

Öll hnit sem eru í öðru veldi koma nú fyrir á báðum hliðum og detta því út. Eftir standur eftirfarandi jafna:

   − 2x_ax_b − 2y_ay_b = − 2∙||∙ ||∙cos v° 

Ef við nú deilum nú í gegn með −2 fáum við eftirfarandi grunndvallarjöfnu:

xaxb + yayb = ||∙ ||∙cos v°

Sitt hvor hlið jöfnunnar ber nafnið innfeldi. Innfeldi má sem sagt reikna á tvennan hátt:

    Innfeldi og = x_ax_b + y_ay_b  og  innfeldi og = ||∙ ||∙cos v° 

Innfeldi vigra er jafnan rituð sem margfeldi vigranna. Þá verður þetta svona:

∙ = x_ax_b + y_ay_b  og  ∙ = ||∙ ||∙cos v° 

Sýnidæmi 1

Reiknum innfeldi vigranna og á myndinni hér fyrir neðan á tvennan hátt.

Við getum lesið hnit vigranna af myndinni ásamt lengd en lengd verðum við að reikna.

Með hnitunum:

∙ = 3∙4 + 3∙0 = 12

Við margföldum x-hnitin saman sér og y-hnitin sér og leggjum saman.

Með lengdum vigranna og kósínus af horninu.

|| =

|| = 4

Við skulum nú halda áfram með það sem við lögðum upp með í byrjun og búa til formúlu til þess að finna horn á milli tveggja vigra. Til þess notum við innfeldi.

    x_ax_b + y_ay_b = ||∙ ||∙cos v° 

Ef við deilum í gegn með ∙ fáum við eftirfarandi formúlu:

Og ef við nú setjum inn fjarlægðarformúluna fyrir lengdir og verður formúlan svona:

Sýnidæmi 2

Finnum hornið á milli vigranna

               ≈ 0,8575

           v° ≈ cos⁻¹ 0,8575 ≈ 31°

Sýnidæmi 3

Hvaða vigur skyldi vera jafn langur vigrinum og hornréttur á hann?

Köllum þann vigur og setjum upp innfeldisjöfnuna.

   x_ax_b + y_ay_b = ||∙ ||∙cos 90° 

Nú er cos 90° = 0 þannig að við fáum eftirfarandi jöfnu:

   x + 2y = 0

Auk þess er ||²  = x² + y² = 5.

Leysum saman þessar tvær jöfnur, x + 2y = 0 og x² + y² = 5.

    x = −2y  og x² = 5 − y²

   x² = 4y² = 5 − y²

 5y² = 5

   y² = 1

    y = ±1

Ef y = 1 þá er x = −2 og ef y = −1 þá er x = 2.

Við höfum sem sagt tvo möguleika,

Teiknum þetta upp.

Ef við reiknum dæmið hér fyrir ofan með almennum breytum sjáum við að við getum snúið vigri 90° með því að víxla hnitunum og gera skipta um formerki á öðru hnitinu.

Vigurinn er hornréttur á vigrana og

Reglan hér fyrir ofan gildir fyrir jafn langa vigra eða ef við snúum sama vigrinum 90° til vinstri og hægri. Nú er cos 90º = 0 þannig að fyrir alla vigra burt séð frá lengd þeirra gildir reglan:

Einnig gildir þetta í hina áttina.

Sýnidæmi  4

Þríhyrningur hefur hornpunktana A = (–3, –4), B = (17, –12) og  C = (5, 16). Finnum stærð hornanna.

Finnum vigra sem samsvara hiðum þríhyrningsins.

Við þurfum ekki að reiknað meira. Vigrarnir og eru greinilega hornréttir og þar að auki jafn langir. Þríhyrningurinn er því rétthyrndur og jafnarma þannig að hornið A er 90º, B = 45º og C = 45º.

Sýnidæmi 5

Þríhyrningur hefur hornpunktana A = (–3, –3), B = (21, 7) og  C = (4, 14).

a)  Finnum stærð hornsins A.

Finnum fyrst vigrana og .

Finnum nú lengdir þeirra.

Nú getum við fundið hornið á milli og .

Hér er margfaldað með Ö2 fyrir ofan og neðan strik.

b)  Finnum hæðina frá C á hliðina AB.

         sin A = h/||

         h = || · sin A

            = 13·2·2/2

            = 13

c)   Finnum vigurinn sem samsvarar hæðinni frá C á hliðina AB.

Vigurinn er hornréttur á og auk þess helmingi lengri. Við getum því fundið  með því að snúa 90º og deila hnitunum með 2.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 4 í vigrum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum