© 2008  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Markgildi

Kynning 1

Markgildi og bilskipt föll

Hvert stefna föll ef x stefnir á óendanlegt? Hækka þau upp úr öllu valdi eða lækka þau aftur eða ná þau einhverju tilteknu gildi? Við vitum að ekki er unnt að deila með núlli, en hvað gerist ef við deilum með tölu sem er næstum núll? Hoppar grafið upp eða niður eða verður aðeins eftir örsmátt gat í grafinu. Markgildi og stærðfræðin sem þeim tengist fæst við spurningar af þessum toga.   

Skoðum fallið 

Grafísk CASIO-reiknivél teiknar upp beina línu (sjá mynd) án þess að það trufli hana nokkuð að í x = 1 er deilt með núlli og fallið er ekki skilgreint þar (F_f = R\{1}).

En skoðum nú hvað gerist þegar x nálgast 1. Í stærðfræðinni er hefð fyrir því að tákna þetta á eftirfarandi hátt:

Lim er skammstöfun fyrir limes sem kemur úr latínu og þýðir markgildi. Rithátturinn hér fyrir ofan merkir því markgildið sem fallið stefnir á þegar x stefnir á 1.

Við getum notað venjulega algebru á brotið og einfaldað það, en við megum ekki missa sjónar á upphaflega brotinu og vandamálinu sem kom upp vegna deilingar með núlli.

Nú er deiling með núlli ekki til staðar lengur þannig að við getum reiknað þetta beint og sett 1 inn fyrir x (reiknað f(1)).

    = 1 + 1 = 2

Þetta segir okkur að fallið stefnir á tvo þegar x nálgast 1.  

Með þessu verður grafið samfelld lína eins og grafið hér til hægri sýnir.

Bilskipt föll nefnast svona föll sem eru skilgreind með fleiri en einni formúlu háð því hvaða gildi x tekur eins og fallið g(x) hér fyrir ofan eða háð tilteknu bili miðað við x-ásinn.

Sýnidæmi 1

Finnum markgildið

Hér er engin deiling með núlli eða nokkurt annað sem bannar okkur að reikna þetta beint. Við getum því sett 2 í stað x í formúlunni.

   2³ – 2² = 8 – 4 = 4

Fallið f(x) = x³ – x² stefnir á 4 þegar x nálgast 2 (úr báðum áttum ef svo ber undir).

Sýnidæmi 2

Finnum markgildið 

Hér getum við ekki sett þrjá inn fyrir x því þá fáum við deilingu með núlli. Hins vegar getum við þáttað fyrir ofan strik og síðan stytt brotið.

Hér setjum við 3 inn fyrir x.

---

Sýnidæmi 3

Finnum markgildið

Nú getum við ekki stytt neitt. Eina úrræðið er að skoða markgildið með því að setja inn tölur sem nálgast 1 úr báðum áttum (bæði ofan frá og neðan frá), en byrjum á því að reikna út gildistöflu og teikna graf

Grafið er í tvennu lagi og leggst að lóðréttri aðfellu í x = 1.

Við skulum nú skoða hvað gerist þegar við nálgumst x = 1, en grafið sýnir að við verðum að gera það úr sitt hvorri áttinni. Fljótlegast er að gera þetta í töflureikninum EXCEL. Við skrifum tölur sem koma nær og nær 1 í A- og D-dálkana. Formúlan í reitnum B3 verður =A3^2/(A3–1) þar sem A3 reiturinn geymir breytuna x. Samsvarandi formúla kemur í reitinn E3 eða = D3^2/(D1–1). Formúlurnar eru afritaðar niður.

Við sjáum að þegar við nálgumst 1 frá vinstri (frá neikvæða hluta x-ássins) lækka tölurnar í f(x) dálknum (B-dálknum) stöðugt og stefna á –∞. En þegar við nálgumst 1 frá hægri stefnir f(x) hins vegar á +∞. Nú er óendanlegt ekki nein tiltekin tala. Ef við veljum einhverja ógnarstóra tölu þá er ævinlega hægt að benda á einhverja enn stærri. Niðurstaðan er því eftirfarandi:

   Markgildið er ekki til.

Sýnidæmi 4

Skoðum markgildið .

Við sjáum að þetta markgildi er ekki hægt að nálgast frá vinstri vegna þess að ekki er hægt að draga kvaðratrót af neikvæðum tölum. Þegar svona stendur á er rétt að taka það fram að markgildið eigi að vera frá hægri. Það er gert með eftirfarandi rithætti:

 Plúsinn merkir frá hægri.

Grafísk CASIO-reiknivél sýnir grafið svona:

Grafið kemur niður með y-ásnum og leggst síðan að x-ásnum. Það verður aldrei neikvætt og er ekki til fyrir neikvæðar tölur. Ef við setjum inn tölur mjög nálægt núlli þá fáum við mjög stórar tölur út. Það er því ljóst að grafið stefnir á óendanlegt þegar x stefnir á núll frá hægri. Markgildið er ekki til.

Sýnidæmi 5

Finnum markgildið

Það liggur ekki í augum uppi hvernig hægt er að einfalda þetta brot en ef við höfum í huga samokaregluna (a – b)(a + b) = a² – b² rennur þetta upp.

Sýnidæmi 6

Í þessu tilviki getum við ekki fundið eitt einstakt markgildi fyrir f(x) þegar x stefnir á 1 og sagt er að fallið sé ekki samfellt í x = 1.  Hins vegar getum við fundið markgildi frá vinstri og hægri.

    og

Við skulum nú skoða markgildi þar sem x stefnir á + eða – óendanlegt.

Þetta er sjaldan neitt flókið ef fallið er margliða. Þegar ákveðnu stigi er náð halda slík föll áfram að vaxa eða minnka þegar veljum hærri eða lægri x. Sama gildir um logra, vísisföll og kvaðratrótarföll.

Um ræð föll (brot á forminu f(x)/g(x)) gildir hins vegar öðru máli.

Ef við þurfum að leysa markgildi af gerðinni verðum við að skoða sérstaklega hvort fallanna teljarinn f(x) eða nefnarinn g(x) vex (eða minnkar) hraðar.

Ef f(x) vex hraðar þá er markgildið ekki til vegna þess að brotið stefnir á + eða –óendanlegt þegar x stefnir á óendanlegt.

Hins vegar ef g(x) vex hraðar þá er markgildið væntanlega einhver ákveðin tala.

Sýnidæmi 7

Skoðum nokkur markgildi þar sem x stefnir á óendanlegt.

a)

 
    Hér stefnir nefnari brots á óendanlegt á meðan teljarinn breytist ekki. Brotið fer því stöðugt minnkandi og
    markgildið stefnir á núll.

b)

 
    Hér vex nefnari brotsins hraðar en teljarinn og markgildið stefnir því á núll.

c)

    Hér vex teljarinn hraðar en nefnarinn. Markgildið stefnir því á óendanlegt og er ekki til.

d)

    Hér er hærra veldi í nefnaranum þannig að hann vex hraðar en teljarinn og markgildið stefnir á núll.

Sýnidæmi 8

Finnum markgildið .

Hér eru veldin jöfn fyrir ofan og neðan strik. Hér er því ekki um það að ræða að nefnari vaxi hraðar en teljarinn (eða öfugt). Ef við deilum hins vegar í alla liði brotsins með x í hæsta veldinu (sem er x²) verður dæmið leysanlegt.

Við vitum að brot þar sem hærra veldi er í nefnaranum stefna á núll þegar x stefnir á óendanlegt. Í raun verður ekkert eftir annað en stuðlarnir við hæsta (annað) veldið. Niðurstaðan verður því eftirfarandi:

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 1 í markgildum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum