© 2008  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Afleiður

Kynning 1

Vaxtarhraði og halli sniðla og snertla

Kynnum nú til sögunnar tvenns konar línur.

Lína sem sker a.m.k. 2 punkta á grafi nefnist sniðill.

Lína sem snertir graf í einum punkti þannig að grafið og línan hafi sama halla í punktinum nefnist snertill.

Skoðum þetta á mynd.

Hugum fyrst að hugtaki sem kallast vaxtarhraði og meðalvaxtarhraði. Vaxtarhraði er mælikvarði á það hve hratt eitthvað vex. Meðalvaxtarhraði er hins vegar eins og nafnið bendir til eins konar meðaltalsvöxtur á einhverju tímabili.

Sýnidæmi 1

Vatn er sett í stóran pott og síðan er kynt duglega undir. Vatnið er upphafleg 20°C og hitinn í pottinum er mældur á einnar mínútu fresti á meðan vatnið er að hitna. Hitinn vex eins og taflan hér fyrir neðan sýnir.

Hve hratt vex hitinn í pottinum?

Það eru margar aðferðir til þess að tjá þetta. Við getum t.d. fundið meðalvaxtarhraða hitastigsins og miðað við hve lengi suða (100°C) var að koma upp.

   Hitinn hækkaði um 80 gráður á 10 mín.

   Að meðaltali hækkar hitinn um 80/10 = 8°C/mín.

Þetta er niðurstaða sem gefur ágæta hugmynd um hve hratt hitinn vex. Ef við hins vegar skoðum tölurnar í töflunni sjáum við að hitinn vex hægar eftir því sem hitastigið hækkar. Það er því nákvæmara svar að reikna út og gefa upp  meðalvaxtarhraðann t.d. fyrstu tvær og síðustu tvær mínúturnar.

Meðalvaxtarhraði

   fyrstu tvær mín. = (40 – 20)/(2 – 0) = 20/2 = 10°C/mín.

   síðustu tvær mín. = (100 – 88)/(10 – 8) = 12/2 = 6°C/mín.

Sýnidæmi 2

Hugsum okkur að fallið f(x) = ¼x² sýni einhvern tiltekinn vöxt eins og í sýnidæmi 1 hér fyrir ofan þar sem x er fjöldi mínúta. Skoðum þennan vöxt og byrjum á því að reikna gildistöflu.

Meðalvaxtarhraði

   yfir allt tímabilið er (16 – 0)/8 = 2

   fyrstu tvær mínúturnar er (1 – 0)/2 = ½

   síðustu tvær mínúturnar er (16 – 9)/(8 – 6) = 7/2 = 3½

Við getum einnig reiknað meðalvaxtarhraðann um miðbik töflunnar, t.d. eftir 3 til og með 5 mín.

   Meðalvaxtarhraði á 3. – 5. mín = (6¼ – 2¼)/(5 – 3) = 2

Við sjáum að formúla fyrir meðalvaxtarhraða eftir x₁ mín. til og með x₂ verður eftirfarandi:

Nú höfum við notað jöfnum höndum y og f(x) enda er y (eða hæð punkts á grafi) útkoman úr formúlunni f(x). Við getum því set upp formúluna fyrir meðalvaxtarhraða svona:

Þetta er nákvæmlega formúlan fyrir hallatölu eins og við höfum kynnst margoft áður þannig að þetta er ekkert annað en hallatala línu sem sker viðkomandi mælipunkta á grafi f(x). Með öðrum orðum þá er meðalvaxtarhraði hallatala sniðils sem sker viðkomandi mælipunkta.

Grafið hér fyrir neðan sýnir tvo af þessum sniðlum, í fyrsta lagi  þann sem á við allt tímabilið og í öðru lagi þann sem á við fyrstu tvær mínúturnar. Jöfnur sniðlanna eru fundnar þannig að hallatalan er viðkomandi meðalvaxtarhraði og punkthnitin eru tekin úr töflunni. Síðan er sett inn í skurðhallajöfnuna y = k(x – x₁) + y₁.

Sýnidæmi 3

Finnum meðalvaxtarhraða fyrir f(x) = x³ á bilinu –2 ≤ x ≤ 2.

Reiknum fyrst út punktana.

   x₁ = –2 og f(–2) = (–2)³ = –8

   x₂ = 2 og f(2) = 2³ = 8

Meðalvaxtarhraðinn er

Sýnidæmi 4

Skoðum nú aftur fallið f(x) = ¼x². Finnum meðalvaxtarhraðann í grennd við x = 4. Byrjum frá vinstri og minnkum fjarlægðina frá 4 í nokkrum skrefum (sjá gildistöflu í sýnidæmi 2).

   Meðalvaxtarhraði á bilinu 1 ≤ x ≤ 4 er (4 – ¼)/(4 – 1) = 1¼

   Meðalvaxtarhraði á bilinu 2 ≤ x ≤ 4 er (4 – 1)/(4 – 2) = 1½

   Meðalvaxtarhraði á bilinu 3 ≤ x ≤ 4 er (4 – 2¼)/(4 – 3) = 1¾

Myndin hér fyrir neðan sýnir sniðla sem samsvara þessum útreikningum.

Við fáum vönd af sniðlum sem rísa meir og meir eftir því sem við þrengjum bilið. En nú skulum við nálgast þetta frá hægri.

   Meðalvaxtarhraði á bilinu 4 ≤ x ≤ 7 er ( 12¼ – 4)/(7 – 4) = 2¾

   Meðalvaxtarhraði á bilinu 4 ≤ x ≤ 6 er (9 – 4)/(6 – 4) = 2½

   Meðalvaxtarhraði á bilinu 4 ≤ x ≤ 6 er (6¼ – 4)/(6 – 5) = 2¼

Af þessu sjáum við að meðalvaxtarhraðinn í grennd við x = 4 er á bilinu 1¾ til 2¼.

Sýnidæmi 5

Nú skulum við finna hver meðalvaxtarhraði f(x) = ¼x² verður á  örþröngu bili við x = 4. Við skulum velja punkt rétt ofan við x = 4 eða í 4 + h þar sem h er lítil tala nálægt núlli. Við getum þá reiknað meðalvaxtarhraðann á bili með breiddina h.

Hugsum okkur myndina hér fyrir neðan vera stækkun af hluta grafsins f(x) = ¼x² í grennd við punktinn (4, 4). Sniðill er dreginn í gegnum punktana (4, 4) og (4+h, f(4+h)).

Nú er f(4+h) = ¼(4 + h)² = ¼(16 + 8h + h²) = 4 + 2h + ¼ h².

Sniðillinn sker því punktana (4, 4) og (4+h, 4+2h+¼h²) og meðalvaxtarhraðinn verður

Nú getum við valið örlítið h, t.d. h = 0,04.

   Það gefur meðalvaxtarhraðann 2 + ¼·0,04 = 2,01.

Og við getum valið enn þrengra bil t.d.h = 0,0004.

   Það gefur meðalvaxtarhraðann 2 + ¼·0,0004 = 2,0001.

Þannig getum við valið eins þröngt bil og við viljum og því þrengra sem bilið verður því meir nálgast meðalvaxtarhraðinn 2

enda er

Þetta markgildi gefur okkur vaxtarhraðann í punktinum (4, 4). Lína sem dreginn er á sama hátt og sniðillinn á myndinni hér fyrir ofan sker í þessu tilfelli aðeins einn punkt og er því snertill með hallatölu sem samsvarar vaxtarhraðanum í punktinum (4, 4).

Ef við setjum þessar niðurstöður inn í skurðhallajöfnu línu fáum við jöfnu snertilsins í punktinum.

   y = 2(x – 4) + 4 = 2x – 8 + 4 = 2x – 4

   y = 2x – 4

Sýnidæmi 6

Finnum jöfnu snertils við grafið f(x) = x² – 2x + 1 í punktinum (2, 1).

Reiknum fyrst hallann.

Fyrri hornklofarnir afmarka f(2+h) en aftari hornklofarnir afmarka f(2).

Jafna snertilsins verður þá

   y = 2(x – 2) + 1

      = 2x – 4 + 1

   y = 2x – 3

Skoðum þessa niðurstöðu á grafi úr grafískri CASIO-reiknivél.

Setjum upp föllin.

Grafið verður eftirfarandi:

Línan og snertillinn snertast greinilega í (2, 1) þannig að jafna snertilsins hlýtur að vera rétt.

Það er einnig hægt að láta reiknivélina finna hallatölu snertilsins.

Við veljum RUN og síðan takka sem merktur er OPTN og er við hliðina á SHIFT-takkanum.

Næst veljum við CALC með F4 og d/dx með F2, en d/dx táknar meðalvaxtarhraða á mjög litlu bili (í sumum bókum er þetta táknað með dy/dx). Síðan skrifum við inn fallið og x-hnit punktsins sem við viljum finna hallann í og þetta aðgreinum við með kommu eins og myndin hér fyrir neðan sýnir.

Niðurstaðan verður 2 eins og vænta mátti.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 1 í afleiðum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum