© 2008 Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Afleiður

Kynning 4

Afleiður vísisfalla og hornafalla

Við skulum nú nota grafíska CASIO-reiknivél til þess að finna nokkur gildi á föllum af gerðinni f(x) = ax og tilsvarandi gildi á afleiðunni f´(x) fyrir x = 2. Við notum reiknivélina til þess að finna afleiðuna með því að velja RUN og síðan takka sem merktur er OPTN og er við hliðina á SHIFT-takkanum. Næst veljum við CALC með F4 og d/dx með F2. Loks skrifum við inn fallið og x-hnitið 2.

Niðurstaðan verður eins og taflan hér fyrir neðan sýnir.

Við sjáum að tölurnar með gildunum a² vaxa frá 4 upp í 9 á meðan afleiðurnar vaxa frá um 2,8 upp í um 9,9 (báðar tölurnar eru námundagildi). Við sjáum af þessu að einhversstaðar á bilinu 2 til 3 er til tala þar sem fallgildið er jafnt afleiðunni. Í a = 2,7 eru gildi fallsins og afleiðunnar nálægt því að vera jöfn (7,3 og 7,2) og ef við veljum a = 2,718282 þá fáum við fallgildið og afleiðuna eins upp að sjöunda aukastaf (7,3890570 og 7,3890575). Talan sem hefur nákvæmlega sama fallgildi og afleiðu er gamall kunningi. Það er talan e.

Talan e er óræð tala þannig að við getum ekki  skrifaða hana nákvæmlega en e ≈ 2,718282 og fallið f(x) = e^x hefur eftirfarandi sérstaka eiginleika:

Við skulum nú skoða reglu sem kallast klemmuregla. Hún er í raun ákveðin aðferð til þess að henda reiður á torleystum markgildum. Ef okkur tekst ekki að reikna markgildi falls f(x) í telteknum punkti P þá getum við reynt að finna fall u(x) sem við getum sýnt fram á að skeri punktinn P en er þar fyrir utan alltaf  fyrir ofan f(x). Á sama hátt þurfum við að finna fall v(x) sem við getum sýnt fram á að skeri punktinn P og er alltaf neðan við v(x). Ef okkur tekst að finna markgildi u(x) og v(x) þegar stefnt er á P frá hægri og vinstri þá höfum við jafnframt fundið markgildi f(x) í punktinum. Þessi hugsun er sýnd á myndinni hér fyrir neðan.

Við skulum nú nota klemmuregluna til þess að finna markgildið . Vandamálið er að ef við setjum 0 inn fyrir x-ið þá fáum við deilingu með núlli og enga lausn. Brotið 0/0 sem kemur út gefur til kynna að útkoman getur verið hvað sem vera skal.

Myndin hér fyrir ofan sýnir einingarhring. Í hann er teiknað hornið x. Mælt í bogmáli er þetta horn jafnt lengd bogans x (frá (1, 0) á x-ásnum upp að P). Ljóst er að sin x er styttra en boginn sem er styttri en tan x. Þar af leiðandi gildir eftirfarandi ójafna:

   sin x x tan x

Rifjum upp skilgreininguna á tan x en hún er  .

Deilum í gegn með sin x og styttum.

Ef þessum brotastrikum er nú velt við þá breytist stærðarröðin og við verðum að snúa ójöfnunni. Hún verður þá eftirfarandi.

Nú höfum við klemmt brotið  á milli 1 og cos x og þegar x stefnir á 0 þá stefnir brotið og cos x á sama gildi. Í stað þess að reikna markgildið getum við látið duga að reikna
og þá er ekkert til fyrirstöðu að setja núllið beint inn fyrir x.

Þessa niðurstöðu getum við notað í framhaldinu.

Skoðum nú annað markgildi sem er .

Hér þurfum við ekki að nota klemmuregluna vegna þess að við getum margfaldað fyrir ofan og neðan með (cos x + 1) og nýtt okkur samokaregluna (a + b)(a – b) = a² – b².

Nú munum við eftir reglu Pýþagórasar fyrir cos og sin. Hún var cos²x + sin²x = 1 sem má umrita yfir á formið –sin²x = cos²x –1. Framhaldið getur því orðið eftirfarandi:

Fyrri hluti markgildisins er 1 eins og reglan hér fyrir ofan segir en seinni hlutinn og þar með allt markgildið et núll vegna þess að sin 0 = 0.

---

Sýnidæmi 1

Við skulum nú finna afleiðu sin x.

Nú þurfum við að rifja upp reglu úr hornafræðinni yfir sinus af summu horna sem er sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v. Setjum þetta inn í markgildið hér fyrir ofan.

Samkvæmt reglunum hér fyrir framar þá verður fyrri liðurinn í markgildinu 0 en seinni liðurinn cos x þannig að útkoman verður cos x.

Á svipaðan hátt getum við fundið út að afleiða cos x er – sin x.

Sýnidæmi 2

Finnum afleiðu fallsins f(x) = tan x.

Rifjum upp að og notum síðan regluna. Þá höfum við u = sin x og u´ = cos x og einnig að v = cos x og v´= – sin x.

Þessu skulum við raða inn í regluna.

Hér notum við regluna cos2x  + sin2x = 1.

Synidæmi 3

Finnum afleiðu f(x) = e^x·sin x + e^x·cos x.

Byrjum á því að taka e^x út fyrir sviga til þess að einfalda dæmið.

   f(x) = e^x(sin x + cos x)

Notum nú regluna (uv)´= u´v + uv´. Við köllum u = e^x og þar með er u´ = e^x og loks köllum við v = sin x + cos x og þá er v´ = cos x – sin x. Röðum þessu nú inn í regluna.

   f´(x) = e^x(sin x + cos x) + e^x(cos x – sin x)

          = e^x sin x + e^x cos x + e^x cos x – e^x sin x

          = 2e^x cos x

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 4 í afleiðum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum