© 2008  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Heildun

Kynning 2

Stofnföll og heildi

Heildun er notuð í margs konar vísindum. Að heilda merkir að safna saman einhverju sem við það myndar heild, eða heildi eins og það er kallað, sem oftast er þá ein ákveðin tala. Heildun er m.a. notuð til þess að reikna flatarmál svæða sem afmarkast af gröfum falla.

Sýnidæmi 1

Finnum flatarmál svæðisins sem afmarkast af x-ásnum og grafi fleygbogans f(x) = –x² + 5x – 4. Gerum þetta þannig að við teiknum súlur inn í grafinu, reiknum flatarmál þeirra og leggjum loks saman.

Bláu súlurnar á myndinni eru 0,5 eininga breiðar og hæðin ræðst af fallinu.

Fyrsta súlan byrjar í x = 1,5.

Hæð hennar er f(1,5) = –1,5² + 5·1,5 – 4 = 1,25.

Flatarmál hennar er F₁ = 1,25·0,5 = 0,625.

Næsta súla byrjar í x = 2.

Hæð hennar er f(2) = –2² + 5·2 – 4 = 2.

Flatarmál hennar er F₂ = 2·0,5 = 1.

Á sama hátt fáum við flatarmál hinna súlnanna, F₃ = 0,625 og F₄ = 0.

Samanlagt flatarmál súlnanna verður 0,625 + 1 + 1 + 0,625 = 3,325.

Við sjáum að þetta er afar ónákvæm nálgun á flatarmáli svæðisins undir grafinu. Svæðið sem litað er rautt verður útundan.
Við skulum því endurbæta aðferðina með því að þétta súlurnar.

Útreikninga á flatarmálinu er upplagt að gera í töflureikni en taflan hér til hliðar er þannig til komin. Dálkurinn f(x) sýnir hvaða fallgildi eru notuð.

Samtals er flatarmál súlnanna nú 3,9063 hnitakerfisreitir sem er greinilega réttari niðurstaða en hin
fyrri enda er rauða svæðið á myndinni nú talsvert minna.

Við getum í sjálfu sér haldið áfram að þétta súlurnar á þennan hátt en niðurstaðan verður alltaf undir rétta flatarmálinu,
enda er svona summa flatarmála súlna undir grafi nefnd undirsumma.

Sýnidæmi 2

Finnum flatarmál svæðisins sem afmarkast af x-ásnum og grafi fleygbogans f(x) = –x² + 5x – 4. Gerum þetta með því að teikna súlur sem ná upp fyrir grafið, reikna flatarmál þeirra og leggja saman.

Dálkurinn f(x) sýnir hvaða fallgildi eru notuð til að reikna hæðir súlnanna en grunnlínan er 0,25. Niðurstaðan verður 5,0313 sem er talsvert hærri niðustaða en í sýnidæmi 1 og væntanlega dálítið yfir réttri niðurstöðu enda ná allar súlurnar dálítið upp fyrir grafið eins og rauðlituðu hornin sýna og summa flatarmálanna er nefnd yfirsumma. Sem fyrr getum við þétt þétt súlurnar en niðurstaðan verður alltaf yfir réttu flatarmáli.

Nákvæmari niðurstöðu má einnig fá með því að taka meðaltal af undirsummunni úr sýnidæmi 1 og yfirsummunni úr sýnidæmi 2. Það gefur eftirfarandi niðurstöðu:

  F ≈ (3,9063 + 5,0313)/2 ≈ 4,469

Einhvers staðar á milli undirsummu og yfirsummu er hið rétta flatarmál undir ferlinum f(x) = –x² + 5x – 4.

Þetta flatarmál nefnist ákveðið heildi og er táknað með teygðu s-i, sem minnir á að hér er um summu að ræða. Ofan og neðan við heildunarmerkið eru tölur sem sýna efra og neðra bil heildisins. Aftan við heildunarmerkið er formúla fallsins sem táknar hæð súlna hverju sinni og síðan er margfaldað með dx sem á að tákna örþröngt bil og stendur fyrir breidd eða grunnlínulengd hverrar súlu. Markgildið sem fæst þegar dx stefnir á 0 er nákvæmlega flatarmálið, nefnist ákveðið heildi og er táknað svona:

Við getum sagt að flatarmálið sé ákveðna heildið frá einum upp í fjóra af –x² + 5x – 4.

Sýnidæmi 3

Reiknivélar reikna ákveðin heildi á svipaðan hátt og í sýnidæmum 1 og 2. Margar nota trapisur í stað súlna eins og myndin hér fyrir neðan sýnir. Við sjáum af myndinni að svæðið sem verður útundan (rauða svæðið) er sára lítið þó trapisurnar séu aðeins sex talsins og auðveldlega megi þétta þær mikið.

Flatarmál trapisu er meðaltal lengdar samsíða hliðanna margfaldað með grunnlínulengd eða g·(a+b)/2. T.d. er flatarmál trapisu 2 eftirfarandi:

   F = g·(a+b)/2

      = 0,5·(f(1,5) + f(2))/2

      = 0,5·(1,25 + 2)/2

      = 0,8125

Reiknum nú flatarmál allra trapisanna í töflureikni og leggjum saman.

Þessi aðferð gefur nokkuð réttar niðurstöður jafnvel með fáum trapisum og er því hentug í reiknitækjum. Skoðum nú hvernig þetta er gert í grafískri CASIO-reiknivél.

Við veljum RUN á aðalvalmyndinni og notum OPTN-takkann sem er við hliðina á SHIFT-takkanum. Síðan veljum við CALC með F4 og með F4 aftur. Við það byrtist aflangt s sem er heildistákn og opinn svigi . Inn í svigann skrifum við fallið ásamt efri og neðri mörkum svæðisins (heildunarinnar) sem eru í okkar tilfelli 1 og 4. Hér getum við bætt við einni tölu í viðbót til þess að stilla af nákvæmni útreikninganna en í flestum tilfellum er það óþarfi og við sleppum því hér. Tölurnar og formúlan eru afmarkaðar með kommu (ekki punkti) og útkoman fæst með því að ýta á EXE á eftir allri rommsunni.

Í glugganum birtist útkoman 4,5 eins og sýnt er hér fyrir ofan.

Skoðum nú hvernig reikna má ákveðin heildi nákvæmlega án þess að nota reiknivélar (raunar finna reiknivélar aðeins nálgun en eru þó jafnan mjög nálægt réttu svari).

Á myndinni hér fyrir ofan höfum við lóðrétt strik á stöðunum x og x+Δx (lesið delta x). Bilið á milli strikanna hefur breiddina Δx en rithátturinn Δx er mikið notaður til þess að tákna mismun tveggja stærða og þar með breidd (þröngs) bils. Köllum flatarmál dröfnótta svæðisins á myndinni F(x). Flatarmál gula svæðisins (að meðtöldu því dröfnótta) verður þá F(x+Δx). Flatarmál gula hluta súlunnar fæst með því að taka burtu dröfnótta hluta gullitaða svæðisins. Með öðrum orðum þá gildir eftirfarandi:

   Flatarmál gula hluta súlu er F(x+Δx) – F(x).

   Flatarmál súlu áætlað miðað við yfirsummu er H·Δx.

   Flatarmál súlu áætlað miðað við undirsummu er h·Δx.

Flatarmál gula hlutans er þarna á milli þannig að eftirfarandi ójafna gildir:

   h·Δx ≤ F(x+Δx) – F(x) ≤ H·Δx

Deilum í gegn með Δx.

Nú er H = g(x) og h = g(x+Δx) þannig að við getum sett ójöfnuna upp svona.

Nú getum við notað klemmuregluna og fundið á hvað þetta stefnir þegar Δx stefnir á 0.
Samkvæmt henni stefnir brotið á g(x) þannig að eftirfarandi markgildi verður niðurstaðan.

Þetta rifjar upp fyrir okkur skilgreininguna á afleiðu

f´(x) =

þar sem h var einmitt breidd á bili eins og Δx og í mörgum bókum er Δx notað í stað h þegar afleiða er skilgreind.

Þetta merkir að F´(x) = g(x) þannig að g(x) er í raun afleiða flatarmálsfallsins og flatarmálsfallið stofnfall g(x). Aðeins fasti aðskilur þetta tvennt. Þegar flatarmál er reiknað á milli tiltekinna marka þá er fyrst reiknað upp að efri mörkunum og síðan neðri mörkunum. Mismunnurinn er flatarmál bilsins og í frádrættinum dettur fastinn út og skiptir ekki máli. Út frá þessu má leiða eftirfarandi reglu:

Sýnidæmi 4

Notum ákveðið heildi til þess að reikna flatarmálið sem afmarkast af grafi f(x) = –x² + 5x – 4 og x-ásnum.

Flatarmálið fæst með heildun f(x) á bilinu 1 ≤ x ≤ 4. Byrjum á því að finna stofnfallið. 

Reiknum nú ákveðna heildið.

Niðurstaðan er sú sama og reiknivélin fékk.                

Sýnidæmi 5

Finnum með heildun flatarmál svæða sem afmarkast af x-ásnum og línunni y = 2x – 2 á bilinu 0 ≤ x ≤ 3.

Stofnfallið er eftirfarndi:

1)   Finnum flatarmál F₁ (sjá mynd).

2)   Finnum næst flatarmál F₂.

       Heildi undir x-ásnum verður greinilega neikvætt, en flatarmál er hins vegar jákvætt og samtals eru svæðin 5 einingar.

3)    Skoðum nú

      Ljóst er að útkoman er 4 – 1 = 3 og miðað við útkomuna úr tveimur fyrri liðum dæmisins þá dregst flatarmálið undir x-ásnum frá því sem er fyrir ofan.

4)   Athugum nú hvað gerist ef við heildum frá hægri til vinstri á móti stefnu x-ássins.

      Reiknum heildið

      Greinilegt er að formerki heildisins breytist ef við heildum í öfuga átt.

Sýnidæmi 6

Finnum flatarmál svæðisins á milli x-ássins og sínuskúrfunnar á bilinu 0 til .

Byrjum á því að skoða grafið í grafískri reiknivél til þess að átta okkur á því hvaða flatarmál um ræðir.

Byrjum á því að velja GRAPH og stilla síðan gluggann (með V-Window). Við skulum t.d. nota eftirfarandi gildi:

Skrifum síðan inn fallið og teiknum graf.

Bláa svæðið sýnir flatarmálið sem um ræðir og við getum fengið það beint út með heildun.

Við getum látið reiknivélina reikna það eins og gert er í sýnidæmi 3 en við skulum æfa okkur á því að nota ákveðið heildi.

Ath. Hornið ( Angle) þarf að vera stillt á (rad).

Finnum fyrst stofnfallið:

Ákveðna heildið reiknum við svona:

Sýnidæmi 7

Finnum flatarmál svæðisins á milli x-ássins og kósínuskúrfunnar á bilinu 0 til .

Teiknum grafið til þess að skoða hvað hér um ræðir.

Við þurfum greinilega að skipta þessu í tvo hluta. Fallið sker x-ásinn í x = (cos = 0) þannig að við þurfum að heilda fyrst frá 0 til og í síðan frá til .
En byrjum á stofnfallinu.

Reiknum nú ákveðna heildið í tvennu lagi.

Í seinna tilvikinu munum við eftir því að sleppa mínusnum þannig að flatarmálið verður samtals 2 eins og við mátti búast út frá flatarmálinu undir sínuskúrfunni í sýnidæminu hér á undan.

Sýnidæmi 8

Finnum flatarmál svæðisins sem afmarkast af x-ásnum og grafi f(x) = x² – 3x – 4.

Finnum fyrst núllstöðvarnar. Þar eru útmörk svæðisins.

   x² – 3x – 4 = (x + 1)(x – 4) = 0

   Núllstöðvarnar eru x = –1 og x = 4.

Skoðum nú grafið t.d. í grafískri reiknivél til þess að átta okkur á svæðinu.

Við byrjum á því að stilla gluggan (með V-Window) en það er líka hægt að gera eftir á þegar við sjáum hvaða pláss við þurfum.

Grafið verður svona:

Til þess að finna flatarmál litaða svæðisins þurfum við að reikna ákveðna heildið frá –1 til 4.

Stofnfallið er .

Ákveðna heildið verður

Flatarmálið er hins vegar jákvætt þó heildið sé það ekki.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 2 í Heildun.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum