Heildun
| © 2008 Rasmus ehf og Jóhann Ķsak |
Heildun |
|
Kynning 3
Flatarmįl svęša sem afmarkast af ferlum
Flatarmįl svęša sem gröf falla afmarka mį finna meš heildun. Skošum t.d. svęšiš
sem afmarkast af grafi fallsins f(x) = x2 + 5x 3 og lķnunni
y = x.
Žaš lķtur svona śt ķ grafķskri reiknivél:
 |
 |
Til aš byrja
meš getum viš reiknaš śt hvar fleygboginn og lķnan skerast. Viš setjum
jafnašarmerki į milli jafna lķnunnar og fleygbogans
en žar er hęšin eša fallgildiš jafnt.
x2 + 5x 3 = x
x2 + 4x 3 = 0 Fęrum yfir jafnašarmerkiš.
(x2 4x + 3) = 0 Tökum 1 śt fyrir sviga.
(x 1)(x 3) = 0 Žįttum.
(x2 4x + 3) = 0
(x 1)(x 3) = 0
Skuršpunktarnir eru ķ x = 1 og x = 3. Žeir eru į lķnunni y = x žannig aš y-hnitin eru žau sömu og hnit punktanna er (1, 1) og (3, 3).
Viš getum nś fundiš flatarmįl undir ferlum meš heildun.
T.d. gefur
heildiš 
flatarmįlš undir
grafi
Flatarmįliš undir lķnunni y = x į bilinu 1 til 3 getum viš reiknaš
meš heildinu
, en myndin hér fyrir
nešan sżnir svęšiš
sem um ręšir.
Setjum žetta nś saman ķ eina mynd.
Žaš er ljóst aš
flatarmįliš į milli lķnunnar og fleygbogans fęst meš žvķ aš finna mismun
heildanna
en viš getum litiš svo į aš viš tökum dröfnótta svęšiš frį heildinni.
 |
|
Fleygboginn fęr žį jöfnuna f(x) = x2 + 5x 3 2 = x2 + 5x 5 og lķnan jöfnuna y = x 2. Skošum grafiš ķ grafķskri reiknivél.
Til žess aš finna skuršpunkta fleygbogans og lķnunnar leysum viš jöfnuna fleygbogi = lķna.
x2 + 5x 5 = x 2
x2 + 4x 3 = 0 Fęrum yfir jafnašarmerkiš.
(x2 4x + 3) = 0 Tökum 1 śt fyrir sviga.
(x 1)(x 3) = 0 Žįttum.
Lausnirnar eru sem fyrr x = 1 og x = 3 žannig aš viš veršum aš heilda yfir žaš bil. Reiknum nś flatarmįliš.
Eins og vęnta
mįtti viš fįum sama heildiš og sama flatarmįliš, enda žegar svęšiš fer nišur
fyrir x-įsinn fįum viš ķ raun tvöfaldan mķnus.
Viš žurfum žvķ ekki aš hafa įhyggjur af žvķ žó svęšiš fari nišur fyrir x-įsinn,
ašferšin gildir samt.
|
Svęši sem afmarkast af grafi f(x) aš ofan og grafi g(x) aš nešan hefur flatarmįliš
Mörkin a og b eru fundin meš žvķ aš leysa jöfnuna f(x) = g(x) sem hefur lausnirnar x = a og x = b. |
Sżnidęmi 1
Finnum flatarmįl svęšisins sem afmarkast af fleygboganum f(x) = x2 4 og lķnunni y = x 2.
Byrjum į žvķ aš leysa jöfnuna x2 4 = x 2 til žess aš finna upphaf og enda svęšisins.
x2 4 = x 2
x2 4 x + 2 = 0
x2 x 2 = 0
(x + 1)(x 2) = 0
Lausnirnar eru x = 1 og x = 2.
Skošum nś svęšiš ķ grafķskri reiknivél til žess aš įtta okkur betur į žvķ.
|
|
 |
Viš sjįum nś aš lķnan myndar efri brśn svęšisins. Žetta merkir aš viš žurfum aš heilda lķnuna fyrst og draga sķšan heildi fleygbogans frį.
Sżnidęmi 2
Finnum flatarįliš sem lokast af į milli grafa f(x) = sin x og g(x) = cos x į
bilinu 0 ≤ x < 2p.
Byrjum į žvķ aš skoša žetta ķ grafķskri reiknivél til aš sjį hvaš įtt er viš.
|
|
 |
Hér žurfum viš aš fyrst aš finna skuršpunkta grafanna eins og jafnan ķ svona dęmum.
Leysum jöfnuna sin x = cos x.
sin x/cos x = 1 Deilum ķ gegn meš cos x
tan x = 1
x = tan1 x = p/4 + n·p
Žetta gefur lausnirnar x = p/4 og x = 5p/4 į bilinu 0 ≤ x < 2
Graf f(x) = sin x er fyrir ofan graf g(x) = cos x į öllu bilinu žannig aš flatarmįliš veršur eftirfarandi:
Nś er cos
p/4
= sin p/4
cos 5p/4
= sin 5p/4
= 
.
Flatarmįliš veršur žį
Sżnidęmi 3
Finnum flatarmįl svęšisins sem afmarkast af lķnunni y = 3x + 1 og grafi marglišunnar f(x) = ⅓ x3 2x2 + 3x + 1. Byrjum į žvķ aš skoša hvaš hér um ręšir į grafi.
Viš žurfum aš žjappa y-įsnum saman til žess aš koma žessu fyrir og stillum žvķ gluggan ķ samręmi viš žaš.
|
|
 |
Grafiš birtist žį svona:
Finnum skuršpunktana.
⅓ x3 2x2 + 3x + 1 = 3x + 1
⅓ x3 2x2 = 0
x2 (⅓ x 2) = 0
Žetta gefur okkur lausnirnar x = 0 og x = 6. Viš žurfum žvķ aš heilda yfir žetta bil og lķnan myndar efrti brśn svęšisins.
Žetta svar getum viš nś prófaš ķ reiknivélinni (meš RUN, OPTN, F4 og F4).
Ęfšu žig į žessum ašferšum og
taktu sķšan próf 3 ķ Heildun.
ps. mundu eftir aš fylla śt ķ tékklistann žinn jafnóšum
