© 2008  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak Pétursson

Heildun

Kynning 5

Liðun í stofnbrot

Við höfum kynnst því að stofnfall f(x) = 1/x er F(x) = ln lxl.

Skoðum nú hvort þessi regla gildir fyrir öll föll af gerðinni f(x) = 1/n(x) þar sem n(x) er margliða af fyrsta stigi (ax + b).

Athugum hvort = ln lx + 1l + C er rétt heildun.

Það gerum við með því að deilda stofnfallið.

   (ln lx + 1l + C)´ =  .

Þetta stemmir en skoðum næst hvort þetta gildir um heildið .

Gerum ráð fyrir að stofnfallið sé 2·ln l3x + 4l + C og deildum.

   (2·ln l3x + 4l + C)´ = .

Hér margföldum við með afleiðu innra fallsins (sem er 3) þannig að stofnfallið sem við reyndum er þrisvar sinnum of hátt. Við hefðum átt að reyna stofnfallið ⅓·2·ln l3x + 4l + C. Við sjáum að eftirfarandi regla gildir:

Skoðum nú hvernig við getum heildað stæður þar sem annars stigs margliða er undir strikinu, en fyrst þurfum við að rifja upp dálítinn brotareikning.

Samnefnarinn er 6 og nú lengjum við brotin og gerum þau samnefnd.

2 gengur þrisvar upp í samnefnarann 6 þannig að við margföldum fyrra brotið með 3 bæði fyrir ofan og neðan strik.

3 gengur hins vegar tvisvar upp í 6 þannig að við lengjum seinna brotið með 2.

En skoðum þetta með bókstöfum.

Samnefnarinn er xy þannig að við lengjum fyrra brotið með y og seinna brotið með x.

Skoðum fleiri og flóknari dæmi.

Samnefnarinn er (x + 2)(x + 1) þannig að við verðum að lengja liðinn til vinstri með (x + 1) og liðinn til hægri með (x + 2).

Reiknum þetta nú í hina áttina.

Við byrjum á því að þátta nefnarann.

  x² + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)

Nú getum við sett þetta upp svona:

Ef við ætlum að reikna svona dæmi í öfuga átt þá þurfum við að finna stuðlana a og b. Prófum að gera samnefnt hægra megin við jafnaðarmerkið.

Nú vitum við að x-in hægra megin (ax + bx) eru jafn mörg og vinstra megin (−x) þannig að eftirfarandi jöfnur gilda:

  ax + bx = −x sem verður  a + b = −1 ef við deilum í gegn með x.

Þá eru eftir hreinir töluliðir sem eru samtals −3.

  a + 2b = −3

Nú höfum við eftirfarandi jöfnuhneppi:

Ef við nú leysum saman þetta jöfnuhneppi (t.d. með því að draga efri jöfnuna frá þeirri neðri) fáum við b = −2 og a = 1 sem er það sama og við lögðum upp með.

Þessi aðferð við að reikna brotasamlagningu til baka nefnist liðun í stofnbrot og hana má nota í heildun eins og sýnidæmið hér fyrir neðan sýnir.

En finnum nú eftirfarandi heildi:

Sýnidæmi 1 

= 2∙ln lx + 1l + C

Sýnidæmi 2

= ½∙2∙ ln l2x + 1l + C = ln l2x + 1l + C

Sýnidæmi 3

 Nú þurfum við að þátta og liða í stofnbrot.

        x² – 1 = (x + 1)(x – 1)

     Næst finnum við tölurnar a og b.

     X-liður er enginn vinstra megin þannig að ax + bx er 0.

     Töluliðirnir eru 2 á vinstri hlið en –a + b á þeirri hægri.

     Þetta gefur eftirfarandi jöfnuhneppi:

    Þetta jöfnuhneppi getum við auðveldlega leyst.

    Ef við t.d. leggjum saman jöfnurnar þá fáum við 2b = 2.

    Þannig að b = 1 sem gefur a = −1.

    Nú getum við liðað í stofnbrot og heildað.

Sýnidæmi 4

    Við byrjum á því að þátta nefnarann.

       x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

     Síðan liðum við í stofnbrot.

    X-liðirnir gefa okkur jöfnuna ax + bx = 2x eða a + b = 2.

    Töluliðirnir gefa jöfnuna 2a + b = 3.

    Leysum því jöfnuhneppið

    Ef við drögum efri jöfnuna frá þeirri neðri fáum við a = 1 og

    innsetning gefur b = 1.

    Nú getum við heildað.

Sýnidæmi 5

    Þáttun:  x² + 3x = x(x + 3)

    Liðun í stofnbrot:

    Töluliðirnir gefa 3a = 3 og a = 1.

    X-liðirnir eru ax + bx = 2x sem gefur  a + b = 2 og b = 1.

    Heildunin verður loks eftirfarandi:

Sýnidæmi 6

   Þáttun: x³ – 5x² + 4x = x(x² – 5x + 4) = x(x – 1)(x – 4)

    Liðun í stofnbrot:

    Stuðlar við x² gefa jöfnuna ax² + bx² + cx² = 3x² og þá fáum við a + b + c = 3.

     Stuðlarnir við x gefa jöfnuna −5ax – 4bx – cx = −10x og

     þannig fáum við jöfnuna 5a + 4b + c = 10.

     Hreinn tölustuðull er aðeins 4a = 4 þannig að a = 1.

     Með innsetningu fáum við 1 + b + c = 3 eða b + c = 2 og

     5 + 4b + c = 10 eða 4b + c = 5.

     Ef við nú drögum jöfnuna b + c = 2 frá jöfnunni 4b + c = 5

     Fáum við 3b = 3 þannig að b = 1.

     Loks fáum við með innsetningu 1 + c = 2 þannig að c = 1.

    Heildun: