© 2008 Rasmus ehf og Jóhann Ísak Pétursson
Runur og raðir
© 2008 Rasmus ehf og Jóhann Ísak Pétursson |
Runur og raðir |
|
Mismunarunur
Runa af tölum getur fylgt ákveðinni reglu eða verið óregluleg. Þær sem fylgja reglum eins og t.d. afborganir lána eru áhugaverðar í stærðfræðilegu tilliti. Hver tala í slíkri talnarunu er nefnd liður í rununni og ber sitt sérstaka númer frá 1 og upp í n. Liðirnir eru jafnan auðkenndir með litlum bókstaf og fótskrift. Fimm sinnum taflan er t.d. runa. Byrjunin á henni væri þá eftirfarandi:
a1 = 5
a2 = 10
a3 = 15
o.s.frv.
Eftirfarandi blað úr töflureikni sýnir nokkrar runur. Skoðaðu runurnar og reglurnar sem þær fylgja.
Allar þessar raðir eru myndaðar af reglum sem má líta á sem fall af númerinu eða f(n) þar sem n á við heilar jákvæðar tölur.
Það eru einnig til runur sem fylgja reglu þó reglan geti ekki kallast fall af númerinu. Dæmi um það er svokölluð Fibonacci-runa sem byrjar á 1 og 1 en á eftir fylgja liðir sem eru summa tveggja næstu liða á undan.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 o.s.frv.
Reglan í þessu tilviki er an = an−1 + an−2.
Í staðinn fyrir o.s.frv. eru runur eins og Fibonacci-runan ritaðar
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . . . .
Þessi ritháttur verður notaður hér í framhaldinu ef um óendanlegar runur er að ræða (runur með ótakmarkaðan fjölda liða). Runur með takmarkaðan fjölda liða má þá rita eins og eftirfarandi dæmi um runu heilla talna á bilinu 1 til 10 sýnir:
1, 2, 3, . . . ,10
En byrjum nú á því að skoða einfalda gerð af runu, t.d. rununa
2, 5, 8, 11, 14, . . . .
Hún einkennist af því að fyrsti liðurinn er talan 2 (a1 = 2) og síðan er bilið á milli liða (mismunur liða) alltaf 3.
Runa af þessari gerð nefnist mismunaruna eða jafnmunaruna.
Finnum nú aðferð til þess að reikna út hvaða lið sem er í þessari runu, t.d. lið númer 10.
a1 = 2
a2 = 2 + 3 = 5
a3 = 2 + 3∙2 = 8
a4 = 2 + 3∙3 = 11
Með hliðsjón af þessu sjáum við að við getum fengið hvaða lið sem er með því að margfalda 3 með tölu sem er einum lægri en númer liðarins sem við leitum að og bæta síðan fyrsta liðnum við. Liður númer 10 verður því
a10 = 2 + 9∙3 = 29
Ef við köllum mismun liðanna d þá gildir almennt eftirfarandi regla fyrir mismunarunur:
|
an = a1 + (n – 1)∙d |
Í mismunarunu eru tveir fyrstu liðirnir eftirfarandi:
a1 = 1 og a2 = 5
Finnum lið númer 20.
Nú er d = a2 − a1 = 5 – 1 = 4
Lið númer 20 finnum við nú með formúlunni.
a20 = a1 + (n – 1)∙d
= 1 + (20 – 1)∙4
= 1 + 19∙4 = 77
Finnum nú regluna f(n) sem býr til rununa í sýnidæmi 1 hér á undan. Það verður að vera regla sem aðeins inniheldur breytuna n.
f(n) = a1 + (n – 1)∙d
= 1 + (n – 1)∙4
= 1 + 4n – 4
= 4n − 3
Í runu eru eftirfarandi liðir gefnir:
a20 = 82 og a21 = 85
Finnum a1 og línulega jöfnu sem samsvarar rununni.
Mismunur rununnar er eftirfarandi:
d = a21 – a20 = 85 – 82 = 3
Við skulum setja þetta d inn í regluna og snúa henni síðan til þess að finna fyrsta liðinn.
a20 = a1 + (n – 1)∙d
= a1 + (20 – 1)∙3
= a1 + 19∙3 = a1 + 57
85 = a1 + 57
85 – 57 = a1
a1 = 28
Röðum þessu nú inn í jöfnuna.
an = a1 + (n – 1)∙d
f(n) = 28 + (n – 1)∙3
= 28 + 3n – 3
= 3n + 25
Í mismunarunu eru gefnir liðirnir a4 = 8 og a10 = 128. Finnum fyrstu fimm liðina.
Mismunurinn á a4 og a10 hlýtur að vera sexfaldur mismunur liða almennt í rununni (10 – 4 = 6).
6d = 128 – 8 = 120
d = 120/6 = 20
Setjum þetta inn í regluna
an = a1 + (n – 1)∙d
a4 = a1 + (4 – 1)∙20
8 = a1 + 3∙20
a1 = 8 – 60 = −52
Nú getum við reiknað fimm fyrstu liðina með því að bæta alltaf 20 við.
a2 = −52 + 20 = −32
a3 = −32 + 20 = −12
a4 = −12 + 20 = 8
a5 = 8 + 20 = 28
Í tilteknum bæ eru 5.500 íbúar. Reynslan síðasta áratuginn sýnir að íbúunum fjölgar að meðaltali um 450 á ári. Hvenær verða íbúarnir 10.000?
Setjum inn í jöfnuna.
an = a1 + (n – 1)∙d
Hér vitum við að an = 10.000, a1 = 5.500 og d = 450.
10.000 = 5.500 + (n – 1)∙450
Leysum þessa jöfnu með tilliti til n.
10.000 – 5.500 = (n – 1)∙450
4.500 = (n – 1)∙450
4.500/450 = n – 1
10 = n – 1
n = 11 ár
Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf
1 í Runum og röðum.
ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum