© 2008  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak Pétursson

Runur og raðir

Kynning 4

Kvótaraðir

Þegar kvótarunur eru lagðar saman þá koma fram kvótaraðir (eða jafnhlutfallaraðir). Við getum fundið einfalda reglu til þess að finna summu þeirra á eftirfarandi hátt.

S_n = a₁ + a₁∙k + a₁∙k² + a₁∙k³ + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + a₁∙kⁿ⁻² + a₁∙kⁿ⁻¹

Margföldum nú rununa með k (hækkum veldið á k um 1).

S_n∙k = a₁∙k + a₁∙k² + a₁∙k³ + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + a₁∙kⁿ⁻¹ + a₁∙kⁿ

Drögum nú upphaflegu röðina frá.

Við sjáum að flestir liðirnir falla út, jákvæðir á móti neikvæðum. Það sem eftir stendur er eftirfarandi jafna sem við leysum m.t.t. S_n:

   S_n ∙ k – S_n = a₁ ∙ kⁿ – a₁

   S_n ∙ (k – 1) = a₁ ∙ (kⁿ – 1)

Ef við nú deilum í gegn með (k – 1) þá fáum við eftirfarandi reglu:

Sýnidæmi 1 

Finnum summu 10 fyrstu liðanna í rununni 

   1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

Hér er n = 10, k = 2 og a₁ = 1. Meira þurfum við ekki að vita.

          = 1024 −1 =1023

Flest runudæmi er auðvelt að leysa í töflureikni, en svona setjum við þetta upp í EXCEL.                   

1)	2)	3)	4)

1)  Við byrjum á því að rita fyrsta liðinn í reit A1. Í A2 ritum við svo formúluna  =A1*2 sem setur í reitinn tvöfalt það sem er í reitnum fyrir ofan.

2)  Formúluna í A2 afritum við niður í reit A10. Þá birtist röðin tilbúin í reitum A1 til A10.

3)  Nú leggjum við saman með formúlunni =SUM(A1:A10) eða með því að slá á ∑ á tækjastikunni.

4)  Niðurstaðan er samhljóða fyrri útkomu.

Sýnidæmi 2

Reiknum summu raðarinnar 1 + 3 + 9 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙177147.

Nú vitum við ekki fjölda liða þannig að við verðum að byrja á því að reikna hann út.

                a_n = a₁∙kⁿ⁻¹

       177147 = 1∙3ⁿ⁻¹

   ln 177147 = ln 3ⁿ⁻¹

   ln 177147 = (n – 1) ln 3

   ln 177147/ln 3 = n – 1

   n = 1 + ln 177147/ln 3 = 12

Nú getum við notað formúluna.

          = 265.720

Sýnidæmi 3

Finnum summu sjö fyrstu liða raðar þar sem a₃ = 810.000 og a₆ = 590.490.

Við byrjum á því að finna k.

Við sjáum að k³ hlýtur að vera hlutfallið a₆/a₃.

   k³ = 590.490/810.000 = 0,729

      = 0,9

Nú þurfum við að finna fyrsta liðinn a₁. Það getum við t.d. gert með því að deila a₃ með k².

   a₁ = 810.000/0,9² = 1.000.000

Nú vitum við það sem til þarf til þess að nota formúluna.

         = 5.217.031

Við sjáum í dæminu hér fyrir ofan að liðirnir eru minnkandi eftir því sem n fer hækkandi. Það er vegna þess að kvótinn k er brot á milli -1 og 1 og við munum að kvótarunur af þessu tagi kallast samleitnar. Raðir af þessu tagi bera samsvarandi nafn og kallast samleitnar raðir.

Við skulum nú hugsa okkur hlaupara sem er að leggja af stað í 100 m hlaup. Til að byrja með hleypur hann helminginn af vegalengdinni eða 50 m. Þessu næst hleypur hann helminginn af því sem eftir er eða 25 m og síðan 12,5 m o.s.frv. Þannig má skipta vegalengdinni sem eftir er niður í óteljandi stöðugt minni og minni helminga. Ef við höldum óendanlega lengi áfram þá hljótum við að komast í mark. Með öðrum orðum þá hafa óendanlegar samleitnar kvótaraðir endanlega summu eins og dæmið hér fyrir neðan sýnir.

   100 = 50 + 25 + 12,5 + 6,25 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

Við skulum nú finna reglu sem gerir okkur kleift að reikna summur óendanlegra samleitinna kvótraða.

Skoðum fyrst hvað verður um kⁿ þegar n stefnir á óendanlegt. Ljóst er að ef k er brot (|k| < 1) þá stefnir kⁿ á 0 og brot sem hafin eru í stöðugt hærra veldi fara lækkandi.

Við skulum nú athuga hvernig þetta kemur út í summuformúlunni

Við notum nú S í stað S_n vegna þess að nú er summan endanleg og n er óendanlegt.

Ef við nú margföldum fyrir ofan og neðan með −1 og lögum jöfnuna til þá verður hún eftirfarandi:

Sýnidæmi 4

Finnum summu raðarinnar

   1 + ½ + ¼ + ⅛ + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

Við sjáum að þetta er samleitin kvótaröð með k = ½ og notum okkar nýfengnu reglu.

Sýnidæmi 5

Finnum summu raðarinnar

   1 − ½ + ¼ − ⅛ + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

Í röðinni skiptast á + og – og liðirnir lækka um helming í hverju skrefi þannig að k hlýtur að vera −½.

Sýnidæmi 6

Finnum hvaða gildi k þarf að taka þannig að summa óendanlegu raðarinnar 1 + k + k² + k³ + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ verði 10.

Ljóst er að röðin verður að vera samleitin og þá gildir eftirfarandi jafna.

Jöfnuna leysum við auðveldlega með því að margfalda í gegn með (1 – k).

     1 = 10(1 – k) = 10 – 10k

  10k = 10 – 1 = 9

      k = 9/10 = 0,9