Den annenderiverte

Hvis vi deriverer en funksjon, og deretter deriverer den deriverte, får vi den annenderiverte. Når vi deriverer den opprinnelige funksjonen f(x), finner vi den deriverte, f´(x). Vi deriverer igjen, og finner den annenderiverte, f´´(x) .

Eksempel 1

Finn den annenderiverte av disse funksjonene:

a)    f(x) = x³ + x² + x + 1

       f´(x) = 3x² + 2x + 1

       f´´(x) = 6x + 2

b)    f(x) = x⁴ + x³ + x^–1 + 1

       f´(x) = 4x³ + 3x² – x^–2

       f´´(x) = 12x² + 6x + 2x^–3

c)    f(x) = sin x

       f´(x) = cos x

       f´´(x) = –sin x

d)    f(x) = cos x

       f´(x) = –sin x

       f´´(x) = –cos x

e)    f(x) = e^–x

       f´(x) = –e^–x

       f´´(x) = e^–x

f)    f(x) = ln x

      f´(x) = 1/x = x^–1

       f´´(x) = –x^–2

Vi definerer funksjonen f(t) som posisjonen til en gjenstand etter tiden t, og får disse fysiske definisjonene:

    f(t) er posisjonen til gjenstanden etter tiden t.

    f´(t) er hastigheten til gjenstanden etter tiden t.

    f´´(t) er akselerasjonen til gjenstanden etter tiden t.

Hastighet er et mål på endring i posisjon per tidsenhet. Akselerasjon er et mål på endring i hastighet per tidsenhet.

Hvis f(t) er målt i meter, og t i sekunder, er f´(t) målt i ^m/s og f´´(t) i ^m/s².

Eksempel 2

Når en pil blir skutt vertikalt opp i luften, kan vi finne en funksjon h(t) som gir oss pilens høyde over bakken etter tiden t. Denne funksjonen påvirkes av mange forskjellige faktorer, som typen pil og bue, og styrken til skytteren. Funksjonen under gir oss høyden h til pilspissen i meter, t sekunder etter at pilen ble skutt opp i luften.

h(t) = – 4.9t² + 24.5t + 2.4.

a)   Finn tiden det tar før pilen treffer bakken.

Tenk deg et koordinatsystem med høyden h på den vertikale aksen, og tiden t på den horisontale aksen. En skytter står i origo, og pilspissen forlater buen 2,4 m over origo. Pilen går opp, og faller ned igjen. Den treffer bakken når høyden h er 0. For å finne ut når dette skjer, må vi finne ut når h(t) = 0. Vi kan gjøre dette på kalkulator, eller med ABC - formelen.

      Verdien t ≈ 0 er ikke helt nøyaktig, fordi pilen allerede er 2,4 m over bakken når vi begynner å ta tiden. Den andre t - verdien forteller oss at pilen treffer bakken etter 5 sekunder.

b)   Nå skal vi regne ut hvor høyt pilen går.

Pilen får lavere og lavere hastighet etter hvert som den stiger oppover, og i toppunktet er hastigheten null. h´(t) gir oss hastigheten etter tiden t. Vi må derfor finne h´(t) og løse likningen h´(t)  = 0.

          h´(t) = –9.8t + 24.5 = 0

           9.8t = 24.5

                t = ^24.5/_9.8 = 2.5 s

        Pilen når altså toppunktet etter 2,5 sekunder. Vi bruker formelen for h(t) til å finne høyden.
         h(2.5) = – 4.9·2.5² + 24.5·2.5 + 2.4 = 33.025 m

       Pilen går opp til 33 m.

c)   Nå skal vi finne akselerasjonen ved å derivere igjen.

          h´(t) = –9.8t + 24.5

          h´´(t) = –9.8 m/s²

Dette er et veldig viktig resultat. Verdien tilsvarer tyngdeakselerasjonen på jorden, altså akselerasjonen mot bakken som skyldes jordens tyngdekraft. Akselerasjonen har negativt fortegn, fordi pilens hastighet oppover avtar.

 

Vi skal se på hva slags informasjon den annenderiverte gir oss om funksjonsgrafen. Den førstederiverte forteller oss hva slags stigning grafen har. Hvis den deriverte er positiv, vokser grafen, hvis den er negativ, avtar grafen. Den annenderiverte forteller oss hvordan stigningen endrer seg. Hvis den annenderiverte er positiv, betyr det at stigningstallet øker, negativ andrederivert betyr at stigningstallet blir lavere.
Når fortegnet til den annenderiverte går fra pluss til minus, betyr det at stigningstallet slutter å øke, og begynner å bli lavere. Grafen går med andre ord fra å være konveks til å bli konkav. Det motsatte skjer når den annenderiverte går fra minus til pluss. Et punkt hvor den annenderiverte skifter fortegn, kalles et vendepunkt. En kontinuerlig funksjon må gå gjennom null for å skifte fortegn, så den annenderiverte er alltid null i et vendepunkt. Hvis du tegner en tangent i en vendepunkt, skjærer den alltid grafen.

Sammendrag :

Når den annenderiverte er positiv, øker grafens stigningstall, og kurven bøyes oppover (konveks).
Når den annenderiverte er negativ, får grafen lavere stigningstall, og kurven bøyes nedover (konkav).

Den deriverte av funksjonen f(x) = e^x er f´(x) = e^x og den annenderiverte er f´´(x) = e^x. Den annenderiverte er alltid positiv, og grafen er derfor alltid konveks. Se diagrammet under.

Funksjonen g(x) = ln x er bare definert for x - verdier større enn null. Den deriverte er g´(x) = 1/x = x^–1, og den annenderiverte g´´(x) = –x^–2 = –1/x². Den annenderiverte er alltid negativ, så grafen bøyesnedover, eller er konkav, som vist under.

f(x) = ex er konveks. f´´(x) er positiv ( +).

g(x) = ln x er konkav g´´(x) er negativ (–).

Eksempel 3

Finn den deriverte og den annenderiverte av funksjonene f(x) = x² + 4x + 3 og g(x) = –x² + 4x – 3.

    f(x) = x² + 4x + 3                       g(x) = –x² + 4x – 3

    f´(x) = 2x + 4                             g´(x) = –2x + 4

    f´´(x) = 2                                    g´´(x) = –2

f´´(x) er positiv, så grafen til f(x) er konveks. g´´(x) er negativ, så grafen til g(x) er konkav.

Bruk den deriverte til å finne det stasjonære punktet i hver funksjon. Vi har et stasjonært punkt når stigningstallet til tangenten er null. Det vil si at:

   f´(x) = 2x + 4 = 0                        g´(x) = –2x + 4 = 0

      2x = –4                                     –2x = –4

        x = –2                                         x = 2

  f(–2) = (–2)² + 4(–2) + 3 = –1      g(2) = –2² + 4·2 – 3 = 1

Grafen til  f(x) er konveks, og har derfor minimumspunktet  (–2, –1).

Grafen til g(x) er konkav, og har et maksimumspunkt (2, 1). Grafene er vist under.

Eksempel 4

Finn den deriverte og den annenderiverte til funksjonen f(x) = x³ – 3x² + 4. Finn også eventuelle maksimumspunkter, minimumspunkter og vendepunkt. Finn deretter likningen til tangenten i vendepunktet.

   f(x) = x³ – 3x² + 4

   f´(x) = 3x² – 6x

   f´(x) = 3x² – 6x = 3x(x – 2) = 0

        x = 0 or 2

Nå ser vi på hvordan fortegnet til den deriverte endrer seg rundt null.

  f´(–1) = 3(–1)² – 6(–1) = 3 + 6 = 9    (+)

   f´(1) = 3·1² – 6·1 = –3                       (–)

   f´(3) = 3·3² – 6·3 = 9                         (+)

 Vi gjør det samme med den annenderiverte:

 f´´(x) = 6x – 6 = 0

       6x = 6

         x = 1

  f´´(0) = 6·0 – 6 = –6                          (–)

   f´´(2) = 6·2 – 6 = 6                            (+)

Vi kan samle informasjonen i en tabell:

Grafen er konkav når x er mindre enn 1, vist av en kurve som bøyes nedover. Grafen er konveks når x er større enn 1, vist av en kurve som bøyes oppover. Vi ser at det er et maksimumspunkt når x = 0, et minimum når x = 2, og et vendepunkt når x = 1.

Vi regner ut koordinatene til punktene:

   f(0) = 0³ – 3·0² + 4 = 4    Maksimumspunkt  = (0, 4)

   f(2) = 2³ – 3·2² + 4 = 0    Minimumspunkt  = (2, 0)

   f(1) = 1³ – 3·1² + 4 = 2    Vendepunkt = (1, 2)

Nå skal vi finne likningen til tangenten i vendepunktet.

Den generelle likningen for tangenten til funksjonen f(x) i et punkt ( a, b ) er  y = f´(a)(x – a) + b. I dette tilfellet er (a, b ) vendepunktet (1, 2).
Vi vet allerede at f´(1) = –3, så vi trenger bare å sette denne informasjonen inn i likningen for en tangent.

   y = –3(x – 1) + 2

      = –3x + 3 + 2

      = – 3x + 5

Likningen for tangenten i vendepunktet er y = –3x + 5.

Vi kan kontrollere ved å tegne grafen til f(x) og tangenten i samme vindu på en grafisk kalkulator. Vi ser at tangenten skjærer grafen i vendepunktet.