© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak Pétursson

Eksponenter og logaritmer

Introduksjon 3

Naturlige logaritmer

Nå som datamaskiner og kalkulatorer kan foreta utregningene for oss, trenger vi ikke 10-logaritmen så ofte lenger. Det finnes derimot en annen logaritme som har blitt mer og mer viktig på flere områder.

Denne funksjonen kalles den Naturlige logaritmen, og har symbolet  ln.

f(x)=ln x

Den naturlige logaritmen er basert på tallet e, som vi har på kalkulatoren.

e er et irrasjonalt tall. e2.718

Eksempel 1

Slik finner du den naturlige logaritmen til 2 på en CASIO-kalkulator:

Svaret er ca. 0.693, som viser hva vi må opphøye e i for å få 2.

   e^0.693 ≈ 2

Kontroller dette på kalkulatoren:

Svaret du får is 1.9997 ≈ 2.

Funksjonene f(x) = ln x og g(x) = e^x opphever hverandre når den ene brukes på resultatet av den andre. Det er det samme som skjer med f(x) = log x og g(x) = 10^x eller når man kvadrerer et tall og senere finner kvadratroten. En annen måte å si dette, er at funksjonen f(x) = ln x er det motsatte av funksjonen g(x) = e^x.

    ln e^x = x og e^{ln x} = x

Tallet e er irrasjonelt, og har ingen eksakt verdi.
Vi kan regne det ut med et hvilket som helst antall desimaler ved å velge større og større verdier av x og sette inn i denne formelen:

Eksempel 2

Regn ut e ved å sette inn x = 1000 i formelen, og bruke en kalkulator.

I EXCEL får e verdien 2.7182818284591. Så ved å velge x = 1000 fikk vi bare 2 riktige tall. Nå skal vi prøve å bruke x = 1000000.

Nå har vi 5 riktige tall. Jo høyere x vi velger, jo mer nøyaktig e kommer vi frem til.

Eksempel 3

Tegn grafene til funksjonene f(x) = ln x og g(x) = e^x.

Først lager vi en verditabell:

Legg merke til at det ikke er noen negative verdier i kolonnen til f(x) = e^x og det er ingen negative verdier i x-kolonnen for den motsatte funksjonen g(x) = ln x.

Definisjonsmengden til f(x) = ln x

er mengden Ff =

Legg merke til at vi tegner begge grafene i samme koordinatsystem, fordi de er speilbilder av hverandre. De er symmetriske, og symmetriaksen er linjen y = x.

Dette gjelder alltid for grafene til to motsatte funksjoner.

Reglene for 10-logaritmen (log) gjelder også for den naturlige logaritmen (ln)

Her er noen eksempler som viser hvordan du kan bruke dette.

Eksempel 4

Løs likningene:

a)

Flytt 2-tallet og skriv som potens. Sett inn basetallet e på begge sider av likningen. e og ln opphever hverandre, så vi står igjen med en andregradslikning. Flytt x til den andre siden av likhetstegnet. Faktoriser og løs for å finne x.

   x = 0 er umulig, fordi det ikke er mulig å skrive 0 som en potens.

b)

Skriv venstre side som en logaritme.   Sett inn basetallet e. ln og e opphever hverandre.

c)

Forenkle ved å skrive som en logaritme.
Sett inn e på begge sider.

Eksempel 5 

Løs likningene:

a)

Finn logaritmen til begge sider..

b)

Bruk reglene: a xa y = a x+y ,  a x/a y = a x−y og  (a n)m = a nm   til å skrive begge sidene som en potens av e..

c)

Bruk reglene: a xa y = a x+y og  a x/a y = a x−y til å skrive begge sidene som en potens av e..

Eksempel 6

Løs likningene:

a)

Finn log til begge sider av likningen og bruk regelen  a x= x ln a til å flytte den ukjente verdien ned foran ln.

b)

Flytt leddene i ln x til den ene siden av likningen og de andre til den andre siden. Forenkle ved hjelp av potensreglene. Finn log til begge sider for å flytte x ned og finne x.

c)

Skill potensene av 5 fra hverandre. Del begge sider på 25, og finn x som før.

Prøv test 3 i Eksponenter og Logaritmer.  

Husk å bruke sjekklisten.