© 2007  Johann Isak og Rasmus ehf

Mengdelære

Skriv ut

Introduksjon 1

Mengdelære og symboler 

En samling av objekter,nummer eller ideer kalles en MENGDE og  hvert objekt i  mengden kalles for et  element i mengden. De fleste mengdene som vi jobber med består av tall og hvert tall kalles et ELEMENT i mengden.

Mengder beskrives ved å bruke  klammeparenteser som inneholder elementene i mengden. For eksempel skriver vi mengden hvor elementene 1,2, og 3 er med som {1,2,3}. Partall større enn 0 kan skrives {2,4,6,8,∙∙∙∙∙∙∙}. Prikkene indikerer at rekken fortsettter i samme mønster.

Ofte brukes store bokstaver som navn på mengder. Vi kan for eksempel gi mengden av naturlige tall 0, 1, 2 og 3 navnet M og skrive M = {0,1,2,3}.

I matematikk er det mange  symboler som brukes  i formler og utrrykk. Ved hjelp av slike symboler kan en få presise og logiske definisjoner og påstander uten å måtte bruke mange ord. I mengdelære er det flere symboler som er viktig å forstå betydningen av.

Her er noen eksempler:

• betyr “er en del av” eller “er et element i”.
• Dersom vi trekker en skrå linje gjennom dette symbolet , får vi den motsatte betydningen av symbolet
• betyr  “er ikke en del av” eller “ er ikke et element i ”.
• Dersom M = {0,1,2,3} kan vi skrive disse påstandene
• {1} M   and   {4} M   Som begge er sanne.

Noen ganger er det enklere å beskrive en mengde istedet for å skrive en liste over dens elementer. En vertikal linje | inni mengdens klammeparenteser, er symbolet for at det kommer en beskrivelse av elementenes egenskaper etter streken.

For eksepel så kan mengden av tall i mengden M som er mindre enn 3 beskrives slik

{x M | x < 3 } = { 0, 1, 2}

Leses slik “x er et element i mengden M slik at  x er mindre enn 3”.Denne påstanden er sann for tallene  0, 1 og 2

Mengden over kan også beskrives som mengden M untatt tallet 3. ‘en slik skråstrek (backslash) \ er symbolet for  “untatt”. Dermed kan vi definere mengden over slik:

Vi trenger ofte flere vilkår for å kunne definere en mengde. Her er et eksempel:

{x M | x < 3  og x 0} = { 1, 2 }

Leses slik “ x er et  element i en megde  M slik at x er mindre enn 3 men ikke lik 0.

Dersom vilkårene er slik at ingen element tilfredsstiller dem, har vi en mengde som kalles tom mengde. Altså en megde som ikke inneholder noe.

Symbolet Ø eller }{ brukes  for en tom mengde.  For eksempel

{x M | x > 3 } = Ø

Leses slik:: mengden av alle tall i Msom er større enn 3.Ettersom M bare inneholder tallene 0, 1, 2, 3,er det ingen tall som er større enn 3.

Når vi ser på mengdene A = {1,2,3,4,5}, B = {1,3,5} og C = {2,4,6} , kan vi straks se at alle elementene i mengden B også er elementer i mengden A. Vi sier at B er en ekte delmengde av A.

Symbolet brukes for å vise dette. Vi skriver  

B A   leses: B er en delmengde i A eller A omslutter B

Legg merke til at mengden C har et element  6 som ikke er i mengden A. I dette tilfellet blir ikke C en delmengde av A. Symbolet for dette får vi ved å trekke en linje gjennom  . Egentlig stryker vi over symbolet som uttrykker sammenhengen, slik vi har gjort med de andre symbolene der noe ikke er sant.  Vi skriver dette slik 

C   A

V i bruker begrepet “ekte delmengden” dersom  elementene i en mengde er lik noen elementer i en annen mengde, men mengdene ikke er like. Dersom en mengde inneholder en annen som kan være samme mengde bruker vi delmengde og  symbolet  . Dette er sammenlignbart med bruken av ulikhetssymbolene i algebra, < og £.

En liste over symboler og deres betydning

Gjør Test 1 i Mengdelære 1.  
Husk  sjekklisten slik at du har oversikt over ditt arbeide.