© 2007  Rasmus ehf  og Jóhann Ísak Pétursson

Faktorisering.

Du ved, hvordan du multiplicerer to parenteser med hinanden

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Når du ser  på resultatet på højre side, hvordan kan du så regne modsat, så du får de to parenteser på venstre side?

Her er en systematisk måde at gøre det på. Sæt først leddene sammen i parenteser to og to, men vær opmærksom på at hver parentes har en fælles faktor.

Disse faktorer sættes nu udenfor parenteserne.

= (c + d)(a + b)

Fælles faktor sættes udenfor parentesen

altså en fælles faktor

Med andre ord er parenteserne fælles faktor i udtrykket og kan derfor blive faktoriseret ud.                                

Synes du det er vanskellig at forstå, så tænk på parenteserne som én enkel værdi, som vi kan kalde S. Nu kommer udtrykket til at se sådan ud:

ac + ad + bc + bd = (ac + ad) + (bc + bd)

Kald parentesen for S

= S(a + b)= (c + d)(a + b)

Sæt S udenfor parentesen

Til slut sættes parentesen (c + d) tilbage i stedet for S.

Læg mærke til, at det ikke betyder noget hvilket par vi sætter sammen. Hvis vi bytter om på leddene og sætter parentes om dem, vil vi få følgende resultat

ac + ad + bc + bd

= (ac + bc) + (ad + bd)

= c(a + b)+ d(a + b)

= (c(a + b) + d(a + b))

= (a + b)(c + d)

Slutresultatet er det samme

Faktoriser x² + x + ax + a.

       x² + x + ax + a

= x(x + 1) + a(x + 1

= (x + 1)(x + a)

Faktoriser  x³ − 4x² − x + 4.

Læg mærke til, at plus tegnet ændres til minus, når vi sætter det i en parentes med negativ fortegn. Derved bliver udtrykket det samme når vi igen fjerner parenteserne.  

 = x²(x − 4) − (x − 4)

= (x − 4)(x² − 1)    

= (x − 4)(x + 1)(x − 1)

6x² + 13x + 6 = 6x² + 4x + 9x + 6

Først må vi dele 13x i to dele. For at finde disse ganger vi det tal, der står foran x² nemlig 6 med det tal der står alene, altså 6 .Resultatet er 36

Nu finder vi de to tal, som lagt sammen (adderet) giver resultatet 13 og som ganget med hinanden (multipliceret) giver resultatet 36. I dette tilfælde er det 4 og 9.

Nu deler vi 13x op i 4x og 9x. og vi kan udfaktorisere en parentes

= (6x² + 4x) + (9x + 6) 

= (2x(3x + 2) + 3(3x + 2))

= (3x + 2)(2x + 3)