© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Hornaföll

Kynning 2      Einingarhringurinn  

Skoðum rétthyrndan þríhyrning með langhliðina 1.

	Mótlæg skammhlið   = sin v°
Aðlæg skammhlið                = cos v°

Skilgreiningin á sínus var

   sin v° = mótlæg skammhlið/langhlið

og skilgreiningin á kósínus var

   cos v° = aðlæg skammhlið/langhlið.

Ef langhliðin er 1 þá er gildir að

   sin v° = mótlæg skammhlið og cos v° = aðlæg skammhlið.

Við skulum nú skoða hring í hnitakerfinu. Hann á að hafa miðju í (0, 0) og hafa radíus 1, en þannig hringur er nefndur einingarhringur.

Teiknum hornið v° í hringinn þannig að annar armur þess verði á x-ásnum og hinn myndi radíus hringsins (með lengdina 1) eins og myndin sýnir. Þá kemur fram þríhyrningur með langhliðina 1 þannig að skammhliðarnar eru cos v° og sin v°. Við sjáum að hornpunkturinn á hringnum hlýtur að hafa hnitin (cos v°, sin v°).

Skoðum nú tan v° á sama hátt.

	Mótlæg skammhlið = tan v°
Aðlæg skammhlið = 1

Skilgreiningin á tangens var

   tan v° = mótlæg skammhlið/aðlæg skammhlið.

Ef aðlæga skammhliðin hefur lengdina 1 þá er

   tan v° = mótlæg hlið.

Teiknum þetta upp í einingarhringinn.

Við getum nú gert eftirfarandi útreikninga:

                   mótlæg skammhlið
tan v° =
                    aðlæg skammhlið

Þessar athuganir okkar á hornaföllum í einingarhringnum gilda fyrir hornið v° sem liggur upp og til vinstri frá x-ásnum. Hugsum okkur hornið v° verða til við snúning um núllpunktinn á þeim armi hornsins sem ekki er á x-ásnum. Þessi stefna (upp og til vinstri eða rangsælis) er skilgreind sem jákvæður snúningur og gagnstæð stefna sem neikvæður snúningur. Færsla punktsins P upp og til vinstri frá x-ásnum eftir einingarhringnum er jákvæður snúningur (sjá mynd).

Við getum nú útvíkkað skilgreininguna hornafallanna á eftirfarandi hátt:

Þessi skilgreining sýnir okkur að hornaföllin hafa mismunandi formerki eftir því í hvaða fjórðung hnitakerfisins radíusinn OP vísar.

Ef við hugsum okkur að punktur færist í jákvæða stefnu eftir hringnum þá endurtaka kósínus og sínus sig á 360° fresti en tangens endurtekur sig á 180° eins og kemur í ljós í sýnidæmi 4.

Sýnidæmi 1

Reiknum hvaða jákvæðu stefnu −200° samsvara.

Hér skulum við bæta við einum hring eða 360°.

   −200° + 360° = 160°

Sýnidæmi 2

Skrifum 1100° sem horn á bilinu 0° v° < 360°.

   Hér þurfum við að draga frá nokkra heila hringi.

      1 hringur:  1∙ 360° = 360°

      2 hringir:   2∙ 360° = 720°

      3 hringir:   3∙ 360° = 1080°

   Við þurfum ekki hærra.

      1100° − 1080° = 20°

Sýnidæmi 3

Notum Pýþagórasarreglu til þess að reikna nokkur nákvæm gildi á hornaföllunum.

Fyrsti möguleikinn er 30° en þá er mótlæga skammhliðin (sin 30°) helmingur af langhliðinni eða ½.

sin 30° = ½ = 0,5 cos 2 30° + (½)2 = 12       cos 2 30°= 1 − ¼ = ¾ ≈ 0,866

Regla Pýpagórasar

                                                                             ≈ 0,577

Næsti þríhyrningur sem við getum reiknað út er með 45° horni og tvær jafn langar skammhliðar sem við getum kallað a.

	a2 + a2 = 1 2a2 = 1 a2 = ½

Þá er það 60° hornið.

	Við fáum aftur þríhyrning með 30°, 60° og 90° hornum og getum nýtt okkur útreikningana hér fyrir ofan. Nú hefur sínus tekið gildi kósínuss og öfugt.

Hornaföllin fyrir 90° horn getum við lesið beint af einingarhringnum. Armur hornsins fellur saman við y-ásinn þannig að x-hnitið er 0 og y-hnitið er 1.

cos 90° = 0

 sin 90° = 1

tan 90° = 1/0 er ekki til.

Þá er næst 120° hornið (90°+ 30°) og aftur fáum við 30°, 60° og 90° þríhyrning.

	Hér erum við vinstra megin við y-ásinn þannig að kósínus er neikvæður.

Þannig getum  við haldið áfram að reikna.

135° hornið (90°+ 45°) hefur t.d. samsvarandi hornaföll og 45° hornið en formerkin verða önnur.

Sýnidæmi 4

Reiknum hornaföllin fyrir 225° horn.

Þetta er 45° meira en 180° (45° + 180° = 225°). Við fáum því eftirfarandi þríhyrning:

	Við getum reiknað þetta eins og í sýnidæmi 3 en nú eru bæði kósínus og sínus neikvæðir. Tangens hins vegar verður jákvæður (− deilt með −).

Tökum eftir því að tangens endurtekur sig nú eftir 180° og aftur orðinn 1  eins og tan 45°.

Sýnidæmi 5

Finnum allar lausnir á jöfnunni tan x° = 2 og síðan þær lausnir sem eru á bilinu 0° £ x° < 360°.

    Notum andhverfa fallið við tan x á reiknivélinni.

       tan ⁻¹(2) ≈ 63,44°

    Nú vitum við að tangens endurtekur sig á 180° fresti þannig að við getum náð yfir allar lausnir með því að    bæta við k∙180° þar sem k er heil tala. Svarið er því eftirfarandi:

       x° ≈ 63,44° + k∙180°           k er heil tala.

    Þetta gefur lausnirnar x° ≈ 63,44° og x° ≈ 63,44° + 180° ≈ 243,44° á bilinu 0° £ x° < 360°.

Sýnidæmi 6

Finnum nú hvenær sinus tekur gildið 0,5.

Skoðum fyrst sin v° = 0,5. Reiknivélin gefur sin ⁻¹(0,5) = 30° en skoðum þetta nánar.

Í dæminu er gefin hæðin 0,5 upp eftir y-ásnum (sin v° = 0,5). Við þurfum sem sagt að finna hvaða tvö horn koma fram þar sem lárétt lína í hæðinni 0,5 sker einingarhringinn (sjá brotnu línuna á myndinni). Við getum teiknað tvo eins þríhyrninga sem báðir hafa hornið v° (= 30°) og mótlæga hlið 0,5 (= sin 30°). Hornið sem reiknivélin fann er minnsta hornið frá jákvæða x-ásnum en það er bara annað svarið. Hitt svarið er v° (eða 30°) til baka frá stefnu neikvæða x-ássins eða 180° − 30° = 150°.

Við sjáum af sýnidæmunum hér fyrir ofan að eftirfarandi regla gildir:

Þessa reglu notum við þegar við leysum jöfnur af gerðinni

                    sin v° = a

Reiknivélar gefa aðeins eina lausn sem er minnsta hornið frá jákvæða x-ásnum. Hitt hornið finnum við með því að draga lausnina sem reiknivélin gefur frá 180°. Síðan þurfum við að bæta k∙360° við báðar lausnirnar ef við viljum sýna allar lausnir.

Sýnidæmi 7

Finnum allar lausnir á jöfnunni sin v° = −0,6.

Teiknum þetta upp til þess að sjá hvað gera skal.

   Reiknivélin gefur sin ⁻¹(−0,6) ≈ −36,9°.

   Drögum það frá 180°.

      180° − (−36,9°) ≈ 216,9°

    Bætum einum hring við −36,9° til þess að losna við mínusinn úr svarinu.

       −36,9° + 360° ≈ 323,1°

Svörin verða:   v₁ ≈ 216,9° + k∙360° og v₂ ≈ 323,1° + k∙360°

Sýnidæmi 8

Leysum jöfnuna cos v° = 0,7.

Teiknum þetta upp. Það er góð regla sem sýnir hvaða svör koma til greina.

Gefið er að fjarlægðin frá y-ásnum er 0,7. Lóðrétt lína í gegnum 0,7 sker einingarhringinn á tveimur stöðum. Reiknivélin gefur cos ⁻¹(0,7) ≈ 45,57°. Við sjáum nú af myndinni að hinn skurðpunkturinn kemur fram í −45,57° og til þess að fá jákvæða gráðutölu þurfum við að bæta við 360°.

Lausn:  v₁ ≈ 45,57° + k∙360°

             v₂ ≈ −45,57° + 360° + k∙360° ≈ 314,43° + k∙360°

Við sjáum af sýnidæminu hér fyrir ofan að eftirfarandi regla gildir:

Þessa reglu notum við þegar við leysum jöfnur af gerðinni

cos v° = a

Reiknivélar gefa eina lausn sem er hornið frá jákvæða x-ásnum. Hin lausnin er þetta horn með neikvæðu formerki. Við báðar lausnirnar þurfum við síðan að bæta k∙360° ef við viljum sýna allar lausnir.

Sýnidæmi 9

Leysum ójöfnuna cos v° < −0,7 á bilinu 0° £ v° < 360°.

Leysum fyrst jöfnuna cos v° = −0,7.

Reiknivélin gefur cos ⁻¹(−0,7) ≈ 134,43° og hin lausnin er þá −134,43° + 360° ≈ 225,57°. Nú getum við teiknað þetta upp í einingarhringinn.

Við sjáum af myndinni að cos v° er fyrir neðan −0,7 ef v° er á litaða bilinu á myndinni. Lausnin er 134° < v°< 226°.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 2 í hornaföllum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum