© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Hornaföll

Kynning 3      Gröf hornafallanna 

Við skulum nú skoða gröf hornafallanna og byrjum á fallinu f(v°) = sin v°. Hornið v° er mælt frá x-ás hnitakerfisins og er staðsett í einingarhring og við hugsum okkur að það fari stöðugt stækkandi.

Setjum upp gildistöflu:

Við höfum áður reiknað út sin 30° og sin 60° með því að nota okkur að þríhyrningur með 30°, 60° og 90° horn hefur skammhlið sem er helmingur af langhliðinni og nota síðan reglu Pýþagórasar. Við getum því auðveldlega reiknað sin v° á 30° fresti. Einnig getum við notað sin x fallið á reiknivélum eða í töflureiknum.

Við skulum nú setja þetta upp í graf.

Niðurstaðan er hin þekkta sínusbylgja sem er eins konar stærðfræðilegur grunnur fyrir margs konar náttúrulega bylgjur. Gallinn við að nota fallið f(v°) = sin v° sem stærðfræðilegt bylgjulíkan er að bylgjur í náttúrunni miðast við lengd eða tíma en ekki gráður. Til þess að bæta úr þessu hefur verið gerður mælikvarði á horn sem kallast radíanar og byggist á því að mæla lengdir boga eftir einingarhringnum með einingum hnitakerfisins. Einn radíani samsvarar boga sem er jafn langur og ein eining hnitakerfisins (lengd einnar rúðu).

Hugsum okkur að við stingjum niður prjóni úr sveigjanlegu efni við 1 á x-ás þannig að prjónshausinn nemi við hæðina einn á y-ás. Ef við nú sveigjum prjóninn þannig að hann leggist að einingarhringnum þá spannar hann boga sem er ein eining að lengd og jafn langur radíus hringsins. Miðhornið sem spannar þennan boga er einn radíani (dregið af radíus og skammstafað rad). Þegar horn eru mæld á þennan hátt er talað um að nota bogmál, en í raun er verið að mæla bogan með radíus einingarhringsins (sem er 1) eða einingum hnitakerfisins.

En hvernig breytum við gráðum í radíana og radíönum í gráður eða gráðum í bogmál og bogmáli í gráður?

Við getum fundið þetta samband út frá því að hringur hefur ummálið 2∙r∙ eða 2 ef mælt er í radíusum. Einingarhringurinn hefur því ummálið 2 ef mælt er í einingum hnitakerfisins. Niðurstaðan er eftirfarandi:

Sýnidæmi 1

Við skulum nú skoða sínusbylgjuna í venjulegu hnitakerfi. Til þess þurfum við að breyta gráðunum á grafinu í radíana. Það gerum við með því að margfalda með hlutfallinu /180 og stytta eins og hægt er.

Nú getum við sett radíanana inn á grafið og notað venjulegan x-ás, en við skulum halda inni gráðunum til samanburðar.

Sýnidæmi 2

Við skulum nú reikna út hve einn radíani samsvarar mörgum gráðum. Það gerum við með því að margfalda með hlutfallinu 180/.

   1∙180°/ ≈ 57,3°

Sýnidæmi 3

Finnum hvað 5/4 radíanar samsvara mörgum gráðum. Aftur getum við margfaldað með 180/ en það er óþarfi vegna þess að við vitum að radíanar samsvara 180 gráðum. Við getum því sett 180° inn fyrir .

   5/4 = 5∙180/4 = 225°.

Ef við eigum grafíska reiknivél af gerðinni CASIO þá er einfalt að teikna gröf hornafalla, en fyrst verðum við að velja hvort við viljum nota gráður (e. degrees), radíana (e. radians) eða nýgráður (e. grads) en nýgráður miðast við 400 gráðu hring. Raunar þurfum við að stilla þetta áður en við notum hornaföllin á flestum reiknivélum. Á CASIO-vélum er þetta gert með því að velja

                                           „Shift og Set Up“.

Þá opnast gluggi með langri röð af stillingarmöguleikum sem við getum valið með færa okkur upp eða niður með örvatökkunum, en nú viljum við velja horn eða

                                                „Angle“.

Þá getum við valið um eftirfarandi þrjá möguleika:

                                „Deg, Rad, Gra“

                                með F1,  F2 eða F3.

Þar notum við mest „Deg“ (gráður) eða „Rad“ (radíana).

Áður en við teiknum grafið verðum við að stilla af x-ásinn sem er venjulega nokkuð langur þegar svona bylgjugröf eru teiknuð. Það er gert með því að velja

                                Shift og View Window (F3)

Eftir þetta getum við valið að teikna graf.

T.d. grafið y = sin x

Að lokum getum við valið að teikna graf með F6.

Sýnidæmi 4

Við skulum nú skoða nokkur gröf í töflureikninum EXCEL. Byrjum á því að teikna grafið f(x) = cos x. Við skulum teikna það á bilinu −90° til 450° og reikna út gildin á 30° fresti. Við byrjum á því að skrifa −90 efst í gráðudálkinn (í B3) og síðan −60 o.s.frv. (sem er fljótlegast að afrita).

Excel notar bogmál þannig að í C-dálkinn koma tölurnar margfaldaðar með hlutfallinu p/180. Formúlan í C3 verður =B3*Pi()/180, en hana má afrita niður C-dálkinn.

Í D-dálkinn kemur síðan kósínusfallið. Formúlan í D3 verður =cos(C3) og hana má afrita niður.

Grafið gerum við síðan með því að „blokka“ B- og D-dálkana, velja grafstikuna og XY (scatter) og laga grafið til eftir þörfum. Það er einfaldast að gera með því að hægrismella á það sem við viljum laga. Exceltaflan verður eftirfarandi:

Grafið y = cos x verður eftirfarandi:

Við sjáum að graf kósínusfallsins er nákvæmlega eins og graf sínusfallsins nema að sínusfallið er hliðrað sem nemur /2 (90°) til hægri.

Við skulum nú prófa að draga /2 frá öllum gildunum í C-dálknum í Exceltöflunni og reikna kósínus af því
(sjá F- og G-dálkana) og teikna upp graf fallsins y = cos(x − /2).

Við sjáum að með þessu höfum við hliðrað kósínusgrafinu /2 (90°) til hægri og við höfum fengið út graf sínusfallsins. Við sjáum að eftirfarandi regla hlýtur að gilda:

                                                        sin x = cos(x − /2)

Ennfremur gildir eftirfarandi:

Við getum hliðrað gröfum hornafallanna til hægri með því að draga fastar stærðir frá breytunni x.

Ef a er neikvæð tala þá verður mínusinn tvöfaldur þannig að við bætum við x-gildin. Það samsvarar hliðrun til vinstri. Við getum einnig sagt að grafið y = cos(x + b) er graf kósínusfallsins hliðrað um b einingar til vinstri.

Sýnidæmi 5

Við skulum nú skoða í töflureikni hvaða áhrif margföldun með tölustuðlum hefur á graf sínusfallsins.

Gröfin verða eftirfarandi:

Eins og við mátti búast þá tvöfaldast útslag bylgjunar ef margfaldað er með 2, en útslag er fjarlægðin frá miðju bylgjunnar (x-ásnum) upp í mestu hæð bylgjunnar. Ef talan sem margfaldað er með er minni en einn þá lækkar hins vegar útslagið og við getum einnig slegið því föstu að margföldun með neikvæðri tölu hlýtur að snúa bylgjunni við.  

Sýnidæmi 6

Við skulum nú skoða hvað gerist ef við margföldum breytuna x með fastri stærð. Berum saman gröfin y = sin x, y = sin 2x og y = sin x/2.

Við sjáum að ef við margföldum breytuna x þá hefur það áhrif á bylgjulengd eða lotu fallsins.

Sínusfallið hefur bylgjulengdina eða lotuna 2, en bylgjulengd (eða lotan) miðast við það bil á x-ásnum sem bylgjan sveiflast frá núlli, upp í hástöðu, niður í neðstu stöðu og upp í núll aftur.

Bylgjulengd fallsins f(x) = sin 2x er helmingi styttri en bylgjulengd upprunalegu sínuskúrfunnar eða , enda getum við sagt að yfirferðin á x-ásnum hafi tvöfaldast.

Bylgjulengd fallsins f(x) = sin x/2 er tvöföld miðað við bylgjulengd upprunalegu sínuskúrfunnar eða 4, enda getum við sagt að yfirferðin á x-ásnum hafi minnkað um helming.

Við getum sagt að margföldun breytunnar með tölunni b gefur bylgjulengd sem er 2/b.

Við getum nú dregið saman niðurstöðurnar úr sýnidæmunum hér fyrir ofan á eftirfarandi hátt:

Sýnidæmi 7

Skoðum nú fallið f(x) = 3∙sin 2(x − /4) + 3

Fallið ætti að vera hliðrað /4 (45°) til hægri (a = /4) og upp um þrjá (e = 3). Útslagið ætti að vera 3 og bylgjulengdin 2/2 = . Við skulum teikna þetta upp.

Sýnidæmi 8

Við skulum nú skoða graf fallsins f(x) = tan x.

Nú er tan x = sin x/cos x þannið að fallið hlýtur að hafa lóðréttar aðfellur þar sem cos x verður 0, en það gerist í /2 (90°), 3/2 o.s.frv. með p eininga (180°) millibili. Við skulum reikna út gildistöflu, t.d. í töflureikni, en við getum ekki reiknað út gildi fyrir x-gildin þar sem lóðfellurnar eru.

Tangensfallið er alltaf vaxandi (stefnir upp). Það rís hratt upp með aðfellu í x = −/2 (−90°). Fallið er −1 í x = −/4 (−45°) og 0 í x = 0. Síðan nær það 1 í x = /4 (45°) og rís þaðan hratt upp með aðfellu í x = /2 (90°). Þetta endurtekur sig aftur og aftur og lotan er eða 180°.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 3 í hornaföllum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum