© 2007  Rasmus ehf  og Jóhann Ísak

Þríhyrningar

Kynning 1    Nokkrar reglur um þríhyrninga

Hefð er fyrir því að auðkenna horn í þríhyrningum með stórum bókstöfum og hliðar með litlum bókstöfum.

           

Einnig er hefð fyrir því að auðkenna mótlægu hliðina á móti horninu A með (litlu) a. Einnig er hliðin b mótlæg við hornið B og hliðin c mótlæg við hornið C (sjá mynd). Hliðarnar b og c sem liggja að horninu A eru nefndar aðlægar hliðar hornsins A. Hliðin b eða einhver önnur hlið sem þríhyrningurinn stendur á er nefnd grunnlína.

Summa allra hornanna í þríhyrningi er 180°. Það getum við séð með því að teikna línu samsíða grunnlínunni b í gegnum hornpunktinn B (sjá mynd).

           

Hornin við samsíða línuna eru A, B og C (sbr. regluna um einslæg horn við samsíða línur) og við sjáum að A + B + C = 180° vegna þess að þau mynda beina línu eða beint horn eins og það er stundum kallað.

Ef við drögum strik frá horninu B beint niður á grunnlínuna b þannig að það myndi rétt horn (90°) við hana þá nefnist strikið hæð þríhyrningsins.

Það er táknað með h á eftirfarandi mynd.

           

Eins og við vitum þá er flatarmál þríhyrnings hálf grunnlínan sinnum hæðin.

                                                F = ½∙b∙h

Hæðin mætir grunnlínunni í punktinum G. Punkturinn G er stundum nefndur fótpunktur hæðarinnar og einnig er talað um ofanvarp punktsins B á grunnlínuna b (og átt við færslu beint niður eða hornrétt niður á b).

Þríhyrningar eru sagðir einslaga ef öll þrjú hornin eru jafn stór. Raunar dugar okkur að vita að tvö horn eru jafn stór, þar með hljóta öll að vera jafn stór.

                   

Þríhyrningarnir hér fyrir ofan eru einslaga og þá gildir að hlutföll samsvarandi hliða eru þau sömu. Eftirfarandi gildir:

 og

Við skulum nú aðeins líta á hvernig þessi hlutföll eru notuð.

Sýnidæmi 1

           

Þríhyrningarnir á myndinni eru einslaga og jafn stór horn eru merkt eins. Finnum hliðarnar x og y.

Við skulum byrja á því að merkja hliðarnar með sambærilegum táknum til að ruglast ekki á hlutföllunum.

           

Nú sjáum við eftirfarandi hlutföll:

    b/c = 36/33 = 24/y = b´/c´

Þá er y/24 = 33/36 og y = 24∙33/36 = 22 cm.

   a/b = x/36 = 20/24 = a´/b´

Þá er x = 36∙20/24 = 30 cm.

Svokölluð rimaregla er afbrigði af hlutföllum einslaga þríhyrninga.

Rimin skiptir hliðinni c í hlutana x og r og hliðinni a í hlutana z og t. Vegna þess að við höfum einslaga þríhyrninga þá getum við gert eftirfarandi útreikninga:

Þetta sýnir að rimin skiptir hliðum þríhyrningsins í sömu hlutföllum.

Sýnidæmi 2

Þríhyrningurinn ABC hefur tvær hliðar sem eru 30 cm langar og 42 cm grunnlínu. Dregin er rim sem er 14 cm löng samsíða grunnlínunni. Finnum hvernig rimin skiptir 30 cm hliðunum (finnum XB og Ax).

           

    14/42 = XB/30

        XB = 30∙14/42 = 10 cm

   AX = 30 − 10 = 20 cm

Um stærðir horna í þríhyrningum er lítið hægt að vita nema með mælingum og útreikningum (með hornaföllum). Þó eru þar á nokkrar gagnlegar undantekningar.

   Jafnhliða þríh.         Jafnarma þríh.          Rétthyrndur þríh.

Jafnhliða þríhyrningur hefur allar hliðar jafn langar (merkt með striki) og öll hornin 60°.

Jafnarma þríhyrningur hefur tvær jafn langar hliðar og tvö jafn stór horn við grunnlínuna (sem ekki er jafn löng og hinar tvær). Við þurfum því ekki að vita nema eitt horn til þess að finna hin. Ef við drögum hæð á grunnlínuna þá skiptum við jafnarma og jafnhliða þríhyrningum í tvo jafn stóra rétthyrnda þríhyrninga.

Ef lengdir hliða í þríhyrningi uppfylla skilyrðin sem Pýþagórasarreglan setur (a2 + b2 = c2) þá er hann rétthyrndur. Reglan gildir sem sagt í báðar áttir. Hún gildir fyrir þríhyrninginn lengst til hægri á myndinni hér fyrir ofan eins og sést á eftirfarandi útreikningum:

    52 + (5)2 = 102

            25 + 75 = 100

Hér stendur þannig á að þríhyrningurinn á myndinni hefur langhlið (10 cm) sem er tvöföld styttri skammhliðin (5 cm).  Í öllum slíkum þríhyrningum eru hornin 30°, 60°og 90°.

Sýnidæmi 3

Finnum flatarmál þríhyrnings sem hefur allar hliðar jafn langar eða 10 cm.

               

Við byrjum á því að draga hæð á eina hliðina. Með því skiptum við henni í tvo 5 cm búta. Þar með höfum við tvo rétthyrnda þríhyrninga og getum notað Pýþagórasarregluna til þess að reikna hæðina.

   h2 + 52 = 102

           h2 = 102 − 52 = 100 − 25 = 75 = 52∙3

            h = 5 ≈ 8,7

   F = ½∙10∙h ≈ ½∙10∙8,7 ≈ 43 cm2

Sýnidæmi 4

Þríhyrningur hefur tvær hliðar 30 cm langar og 42 cm langa grunnlínu. Teiknuð er rim í 10 cm fjarlægð frá grunnlínunni. Finnum hve löng rimin er.

           

Við byrjum á því að draga hæð á grunnlínuna. Þar með höfum fengið tvo rétthyrnda þríhyrninga og getum þá notað Pýþagorasarreglu. Reiknum hæðina.

   h2 + 212 = 302

            h2 = 302 − 212 = 459

              h ≈ 21,4

   Nú er y = h − 10 ≈ 21,4 − 10 ≈ 11,4 cm

   Síðan notum við okkur að þríhyrningarnir eru einslaga.

    y/h = x/ 21

       x ≈ 21∙11,4/ 21,4 ≈ 11 cm

Þetta segir okkur að rimin er nálægt því að vera 22 cm löng.

Við skulum stilla rétthyrndum þríhyrningi þannig upp að langhliðin verði grunnlína, en þá myndar 90° hornið toppinn. Drögum síðan hæð eins og eftirfarandi myndi sýnir:

           

Hæðin skiptir 90° horninu í tvennt. Við skulum kalla annan hlutann x°, en hinn hlutinn verður þá 90°− x°. Við sjáum þá að hornin við grunnlínuna sitt hvoru megin verða að vera 90° − x° hægra megin og x° vinstra megin ef þríhyrningarnir eiga að hafa samtals 180° hornasummu.

Nú sjáum við að stóri þríhyrningurinn og báðir litlu þríhyrningarnir hafa 90°, x° og 90° − x° horn. Þeir hafa allir jafn stór horn og eru því einslaga.

Fyrir alla rétthyrnda þríhyrninga gildir að hæð á langhliðina skiptir þeim í tvo þríhyrninga sem eru báðir einslaga upprunalega þríhyrningnum.

Þetta gefur möguleika á þrenns konar hlutföllum.

Hlutföllin mótlægar hliðar við hornið x° deilt með mótlægum hliðum við 90°− x° eru eftirfarandi:

               

Hlutföllin mótlægar hliðar við hornið x° deilt með langhliðum eru eftirfarandi:

               

Hlutföllin mótlægar hliðar við hornið 90° − x° deilt með langhliðum eru eftirfarandi:

               

Sýnidæmi 5

Rétthyrndur þríhyrningur hefur skammhliðarnar 7 cm og 10 cm. Dregin er hæð á grunnlínuna. Finnum flatarmál þríhyrninganna tveggja sem myndast.

           

Við byrjum á því að reikna út hliðina c með Pýþagórasarreglu.

    c2 = 102 + 72 = 149,  þá er c ≈ 12,2 cm

Reiknum næst a.

    a/c = a/a

    a = a2/c ≈ 102/12,2 ≈ 8,2 cm

Og síðan b.

    b ≈ 12,2 − 8,2 ≈ 4 cm

Þá vantar okkur h til þess að finna flatarmálin.

    b/c = h/a

    h = ab/c ≈ 10∙7/12,2 ≈ 5,7 cm

Nú getum við reiknað flatarmálin.

    F1 = ½∙b∙h ≈ ½∙4∙5,7 ≈ 11,4 cm2 

    F2 = ½∙a∙h ≈ ½∙8,2∙5,7 ≈ 23,4 cm2 

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 1 í þríhyrningum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum