© 2008  Rasmus ehf og Jóhann Ísak

Afleiður

Kynning 3

Rætur, neikvæð veldi, margfeldi og ræð föll

Sýnidæmi 1

Finnum afleiðu .

Við notum okkur samokaregluna a2–b2 = (a–b)(a+b) til þess að breyta stæðunni og stytta h-ið úr nefnaranum.

Athugum nú hvort við fáum það sama út ef við skrifum kvaðratrótina sem hálfta veldi () og notum regluna .

Sýnidæmi 2

Finnum afleiðu fallsins                   .

Við byrjum á því að einfalda stæðuna og skrifa sem eitt veldi og rifjum upp regluna þar sem n er rótarvísir og v veldisvísir sem verða nefnari og teljari í veldisvísi sem er brot.

Við færum 7/6 framfyrir og lækkum veldisvísinn um 1.

---

Sýnidæmi 3

Finnum nú afleiðu fallsins f(x) = x^–1 = 1/x.

Við setjum fyrst upp á strik fyrir ofan aðalstrikið og setjum síðan niður á eitt strik. Að lokum styttum við og einföldum.

 

Finnum afleiðu margfeldis tveggja falla.

f(x) = u(x)·v(x).

Nú er maðalvaxtarhraði falla á þröngu bili nálægt því að vera jafn afleiðunni þannig að eftirfarandi gildir um u´(x) og v´(x).

og

Út frá þessu fáum við

   h·u´(x) » u(x+h) – u(x) þannig að u(x+h) » h·u´(x) + u(x)

   h·v´(x) » v(x+h) – v(x) þannig að v(x+h) » h·v´(x) + v(x)

Þessar stæður getum við sett inn í markgildið hér fyrir ofan og einfaldað vegna þess að nálgunin verður nákvæmari eftir því sem x minnkar. Ef við einföldum og reiknum markgildið á þennan hátt þá fáum við eftirfarandi reglu fyrir afleiðu margfeldis tveggja falla:

Þessa reglu getum við sett upp á einfaldari hátt sem þægilegra er að muna en við verðum að hafa í huga að u og v eru föll.

Sýnidæmi 4

Finnum afleiðu fallsins f(x) = x³·x².

Nú getum við að sjálfsögðu margfalda saman og fengið út f(x) = x⁵ og f´(x) = 5x⁴, en við skulum nota regluna hér fyrir ofan.

Setjum u = x³ sem gefur u´ = 3x² og v = x² sem gefur v´ = 2x.

   f´(x) = (uv)´ = u´v + uv´

                      = 3x²·x² + x³·2x

                      = 3x⁴ + 2x⁴ = 5x⁴

Finnum afleiðu hlutfallsins u/v þar sem u og v eru föll:

Nú er (v^–1)´ = –v^–2·v´ samkvæmt reglunni um afleiðu veldastærða  og keðjureglunni sem sýnd er í kynningu 5. Við getum því leyst þetta með reglunni (uv)´ = u´v + uv´.

Regla til þess að finna afleiðu hlutfalls tveggja falla er eftirfarandi:

---

Sýnidæmi 5

Finnum afleiðu

Setjum u = x + 1 sem gefur u´ = 1 og v = x² sem gefur v´ = 2x.

Röðum þessu nú inn í regluna hér fyrir ofan.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 3 í afleiðum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum