© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Mengi kynning 3

Talnalínan

Við getum hugsað okkur talnalínu sem þétta samfellda röð af punktum. Hver punktur á talnalínunni táknar tölu sem samsvarar fjarlægð hans frá núllpunktinum til vinstri (−) eða hægri (+).

Talnamengin Z (heilar tölur) og N (náttúrulegar tölur) geta ekki einar og sér myndað talnalínu, aðeins staka punkta á henni.

Mengið Q, mengi ræðra talna, myndar heldur ekki samfellda talnalínu. Inni á milli ræðu talnanna er óendanlegur fjöldi talna sem ekki er hægt að tjá nákvæmlega með almennu broti þannig að mengið Q er í raun slitrótt ef vel er að gáð.

Tölurnar sem vantar uppá heita óræðar tölur. Ef reynt er að skrifa þær með óendanlegum tugabrotum kemur aldrei fram nein endurtekning eða lota. Eftirfarandi eru nokkur dæmi um nálganir á óræðum tölum:

0,909009000900009

0,123456789101112

= 1,41421356237

= 1,73205080756

p = 3,141592653589

  Óræðu tölurnar ásamt ræðu tölunum eða menginu Q (sem inniheldur mengin Z og N) mynda samfellu sem við könnumst við sem talnalínu eða x-ás. Saman mynda þessi mengi eina heild sem kallast rauntölur eða talnamengið R.

Eftirfarandi mynd sýnir hvernig mengið R nær yfir talnamengin Q, Z og N. Þar kemur fram hvernig mengi rauntalna skiptist í óræðar tölur (óstrikað svæði) og brot (mengið Q). Mengið Q skiptist síðan í brot og heilar tölur (mengið Z). Mengið Z skiptist loks í Mengið Z_-, 0 og mengi náttúrulegra talna (N).

Hægt er að tákna bil á talnalínu með ýmsu móti. Bilið frá og með 1 til og með 5 má t.d. tákna á eftirfarandi hátt:

Með ójöfnu:                 1 x 5

Með mengjatáknum:   { x R | 1 x 5}

Með teikningu:

Einnig er algengt að tákna bil með svokölluðum biltáknum sem eru hornklofar. Bilið frá 1 til 5 með endapunktunum verður þá

                          [1; 5] eða [1, 5] (mismunandi eftir bókum)

Bil eins og [1; 5] þar sem báðir endapunktarnir eru taldir með kallast lokað bil.

Nú er það æði oft þannig að ekki er unnt að gefa einhvern fastan ákveðinn punkt sem fyrsta eða síðasta punkt í mengi. Tökum sem dæmi allar tölur stærri en  1 og minni en 5 (endapunktarnir 1 og 5 er ekki taldir með). Þetta má tákna á ýmsa vegu, t.d.:

Ójafna:	1 < x < 5
Mengjatákn:	{ x R | 1 < x < 5}
Teikning:
Biltákn:		mismunandi eftir bókum

Taktu eftir að nú eru endapunktarnir 1 og 5  hafðir holir hringir á myndinni og opnir hornklofar þegar biltákn eru notuð.

Merkin eða opnir hornklofar tákna að endapunktarnir eru ekki taldir með.

Bil eins og þar sem hvorugur endapunktanna eru taldir með kallast opið bil

 Skoðum að lokum hvernig bilið frá og með einum og upp úr er táknað:

Ójafna:	x ≥ 1
Mengjatákn:	{ x R | x ≥ 1}
Teikning:
Biltákn:		mismunandi eftir bókum

Bil eins og þetta kallast hálfopið (eða hálflokað). Hálfopin bil þurfa ekki að ná upp í óendanleikann.

Bilið

er hálfopið. Skoðaðu myndina af því hér fyrir neðan.

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 3 í Mengjum .

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum