© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Afleiður

Kynning 5

Keðjureglan

Ef við skoðum fallið  f(g) = g³ þá hefur það afleiðuna f´(g) = 3g². Hvað gerist nú ef g er fall en ekki venjuleg einföld breyta? Við getum t.d. sett g(x) = x².

Skoðum afleiðuna af samsetta fallinu.

   f(x²) = (x²)³ = x⁶

Hún hlýtur að vera 6x⁵. Skoðum það nánar með þeim aðferðum sem við höfum notað hingað til.

   f´(x²) = 3(x²)² = 3x⁴

Hér vantar að margfalda með 2x til þess að fá afleiðu samsetta fallsins.

   (f(g(x))´ = 3(x²)²·2x = 6x⁵

Nú er afleiða innra fallsins g(x) = x² engin önnur en g´(x) = 2x þannig að eftirfarandi regla gildir fyrir þessa samsetningu:

Sýna má fram á að þessi regla gildir fyrir öll samsett föll sem eru samfelld og hafa afleiðu.

Sýnidæmi 1

Finnum afleiðu samsetta fallsins f(x) = sin²x.

Rithátturinn sin²x hefur sömu merkingu og (sin x)² þannig að annað veldi er ytra fall en sin x innra. Afleiðan verður þá

   f´(x) = 2(sin x)·cos x = 2 sin x cos x

Afleiða ytra fallsins er reiknuð eins og innra fallið væri venjuleg. Síðan er margfaldað með afleiðu innra fallsins.

Sýnidæmi 2

Finnum afleiðu f(x) = sin x².

Hér er sínus ytra fall en annað veldi innra fall.

   f´(x) = cos x² · 2x

Sýnidæmi 3

Notum hornareglurnar cos x = sin ( – x) og sin x = cos( – x) til þess að finna afleiðu cos x.

    cos x = f(x) = sin ( – x)

Nú hefur sinusfallið afleiðuna cos og ( – x) afleiðuna –1 þannig að

   f´(x) = cos( – x)·(–1)

          = sin x · (–1)

          = – sin x

Sýnidæmi 4

Finnum afleiðu f(x) = sin²x².

Þetta jafngildir f(x) = (sin x²)² þannig að fallið er þrefallt, annað veldi yst, þar næst er sinusfallið og innsta fallið er síðan aftur annað veldi. Hér sjáum við að nafn keðjureglunnar er sannkallað réttnefni.

Sýnidæmi 5

Afleiða vísisfallsins er fallið óbreytt, afleiða x2 + 1 er 2x.

Sýnidæmi 6

Við skulum nú finna afleiðu a^x.

f(x) = a^x

Rifjum fyrst upp lograregluna ln a^x = x·ln a. Ef við setjum báðar hliðar sem veldi á e þá fáum við eftirfarandi framsettningu á fallinu f(x) = a^x.

f(x) = a^x = e^{x·ln a}

Nú er ln a fasti eins og hvert annað k þannig að við getum fundið afleiðu a^x ef við umritum það á formið e^{x·ln a}.

   f´(x) = (e^{x·ln a})´ = (ln a)·e^{x·ln a} = (ln a)·a^x

Sýnidæmi 7

Finnum afleiðu fallsins f(x) = e^x·a^x.

Hér notum við regluna (uv)´= u´v + uv´ þar sem u = e^x sem gefur u´ = e^x og v = a^x sem gefur v´ = (ln a)·a^x. Röðum þessu nú inn í regluna.

   f´(x) = (uv)´= u´v + uv´

           = e^x·a^x + e^x·(ln a)·a^x        Hér  tökum við e^xa^x út fyrir sviga.

           = e^xa^x(1 + ln a)

Sýnidæmi 8

Finnum afleiðu náttúrulega lografallsins f(x) = ln x.

Ef f(x) = ln x þá er e^f(x) = x. Ef við nú finnum afleiðu beggja hliða jöfnunnar þá fáum við eftirfarandi:

   e^f(x) = x

   e^f(x)·f´(x) = 1                Hér notum við keðjuregluna.

Leysum nú fyrir f´(x).

   f´(x) = 1/e^f(x)

          = 1/x                Munum að x = e ^f(x).

Í framhaldinu getum við fundið afleiður annarra lografalla.

Finnum afleiðu f(x) = log x.

Nú þurfum við að dusta rykið af reglu sem sýndi tengsl logra með mismunandi grunntölu a. Reglan var eftirfarandi:

Við getum notað þessa reglu til þess að umrita aðra logra yfir á náttúrulega logran ln x.

Logrinn ln 10 er fasti sem breytir engu þannig að eftirleikurinn er auðveldur.

Sambærileg útreikninga má gera fyrir aðra logra þannig að eftirfarandi þrjár reglur gilda fyrir afleiður lografalla:

---

Sýnidæmi 9

Finnum afleiðu f(x) = ln(x² + 1).

Sýnidæmi 10

Finnum afleiðu f(x) = x·ln x – x + 5.

   f´(x) = 1·lnx + x·1/x – 1 = ln x

Yfirlit yfir afleiður og afleiðureglur

Afleiður:

          k´ = 0           k = fasti

          x´ = 1

      (xⁿ)´ = nx^n–1    n getur m.a. verið neikvæð tala eða brot

      (e^x)´ = e^x

      (a^x)´ = a^x · ln a

     sin´x = cos x

     cos´x = –sin x

 Reglur:

        (uv)´ = u´v + uv´

    (f(g(x))´ =  f´(g(x))·g´(x)

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 5 í afleiðum.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum