© 2007  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak Pétursson

Eksponenter og logaritmer

Introduksjon 2

Logaritmer basert på 10.

Det er få tall som er like lette å jobbe med som 1, 10, 100, 1000 osv. For å gange dem sammen er det bare å telle antallet nuller.

F.eks. 10×100×1000 = 1 000 000, totalt 6 nuller.

Dette ser vi også hvis vi skriver tallene som potenser av 10.

10×100×1000 = 10¹×10²×10³ = 10¹⁺²⁺³ = 10⁶ = 1000000.

For rundt 400 år siden fant matematikerne ut at å skrive tall som potenser av 10 ville gjøre multiplikasjon mye lettere. Istedenfor å gange sammen tallene, holdt det å legge sammen eksponentene. På den tiden, da det ikke fantes kalkulatorer, ble man glade for alt som kunne gjøre utregningene lettere.

En funksjon kalt logaritmen ble definert, skrevet f(x) = lg x eller f(x) = log x hvor log a er potensen som 10 må opphøyes i for å bli a.

Funksjonen f(x) = log x er definert for alle positive tall, og finner potensen av 10 som gir x. Vi kan bare finne logaritmen til positive tall, fordi forskjellige potenser av 10 alltid vil være positive.

Definisjonsmengden til funksjonen f(x) = log x er derfor
{ xÎR | x > 0 }.

Nå skal vi se på noen logaritmer på en kalkulator. Det finnes mange kalkulatorer med denne funksjonen, men her bruker vi en Casio grafisk kalkulator.

Slik finner du log 2:

f(1) = log 1 = 0 fordi 10⁰ = 1

f(2) = log 2 ≈ 0,303 fordi  10^0.303 ≈ 2

f(3) = log 3 ≈ 0,477 fordi  10^0.477 ≈ 3

f(10) = log 10 = 1 fordi  10¹ = 10

f(20) = log 20 ≈ 1.303 fordi  10^1.303 ≈ 20

f(100) = log 100 = 2 fordi  10² = 100

f(1000) = log 1000 = 3 fordi  10³ = 1000

Funksjonen f(x) = log x er den motsatte av funksjonen g(x) = 10^x. Dette betyr at etter å ha brukt den ene, kan vi bruke den andre for å få det vi begynte med, på samme måte som når vi kvadrerer, og deretter finner kvadratroten til resultatet.

Eksempel 1

Løs likningen
		Vi finner log til begge sider av likningen. Fordi funksjonene log x og 10x opphever hverandre, får vi bare x på venstre side. Kontroller resultatet på kalkulatoren.

Eksempel 2

Logaritmer er bare eksponenter. Derfor gjelder de følgende reglene for logaritmer.

Vi vet at 10^x×10^y = 10^x+y. Derfor vet vi også at

x = log a og y = log b.

det fører til at log ab = log a + log b.

På samme måte ser vi at log ^a/_b = log a − log b.

Vi kan skrive log aⁿ = log a + log a + ∙ ∙ ∙ ∙ + log a

(n verdier) = n log a.

Fra dette kan man utlede de følgende logaritmereglene:

Eksempel 3

Kombinert gir logaritmereglene betegnelsen på logaritmer:

a)  log a + log b + log c = log abc

b)  log a + log 2b + log 3c + log 4 = log a×2b×3c×4 = log 24abc

c)  log a + log a + log a = 3 log a = log a³

d)  log 2a − log 2b = log 2 + log a − log 2 − log b = log ^a/_b

e)  ¼×(log a + log a³) = ¼×(log a + 3 log a) = ¼∙4 log a = log a

Eksempel 4

Løs likningen ved å skrive venstre side av likningen som en logaritme.

a) 

Vi begynner ved å bruke logaritmereglene til å endre venstresiden fra addisjon og subtraksjon til multiplikasjon og divisjon. Deretter setter vi inn basen 10 på begge sider av likningen. 10 og log opphever hverandre, slik at vi sitter igjen med 10x.  Til slutt deler vi på 10 for å finne x. Kontroller resultatet på kalkulatoren.

b)

c)

d)

Regelen  log aⁿ = n log a  brukes for å løse likninger av typen a^x = b,  hvor eksponenten er den ukjente verdien.

Vi finner logaritmen til begge sider, og bruker denne regelen for å flytte x ned.

    a^x = b

    lg a^x = lg b

    x lg a = lg b

Eksempel 5 

Prøv test 2 i Eksponenter og Logaritmer.

Husk å bruke sjekklisten.