© 2007 Rasmus ehf og Jóhann Ísak Pétursson |
Eksponenter og logaritmer |
![]() |
Introduksjon 2
Logaritmer basert på 10.
Det er få tall som er like lette å jobbe med som 1, 10, 100, 1000 osv. For å gange dem sammen er det bare å telle antallet nuller.
F.eks. 10×100×1000 = 1 000 000, totalt 6 nuller.
Dette ser vi også hvis vi skriver tallene som potenser av 10.
10×100×1000 = 101×102×103 = 101+2+3 = 106 = 1000000.
For rundt 400 år siden fant matematikerne ut at å skrive tall som potenser av 10 ville gjøre multiplikasjon mye lettere. Istedenfor å gange sammen tallene, holdt det å legge sammen eksponentene. På den tiden, da det ikke fantes kalkulatorer, ble man glade for alt som kunne gjøre utregningene lettere.
En funksjon kalt logaritmen ble definert, skrevet f(x) = lg x eller f(x) = log x hvor log a er potensen som 10 må opphøyes i for å bli a.
Funksjonen f(x) = log x er definert for alle positive tall, og finner potensen av 10 som gir x. Vi kan bare finne logaritmen til positive tall, fordi forskjellige potenser av 10 alltid vil være positive.
Definisjonsmengden til funksjonen f(x) = log x er derfor
{ xÎR | x > 0 }.
Nå skal vi se på noen logaritmer på en kalkulator. Det finnes mange kalkulatorer med denne funksjonen, men her bruker vi en Casio grafisk kalkulator.
Slik finner du log 2:
f(1) = log 1 = 0 fordi 100 = 1
f(2) = log 2 ≈ 0,303 fordi 100.303 ≈ 2
f(3) = log 3 ≈ 0,477 fordi 100.477 ≈ 3
f(10) = log 10 = 1 fordi 101 = 10
f(20) = log 20 ≈ 1.303 fordi 101.303 ≈ 20
f(100) = log 100 = 2 fordi 102 = 100
f(1000) = log 1000 = 3 fordi 103 = 1000
Funksjonen f(x) = log x er den motsatte av funksjonen g(x) = 10x. Dette betyr at etter å ha brukt den ene, kan vi bruke den andre for å få det vi begynte med, på samme måte som når vi kvadrerer, og deretter finner kvadratroten til resultatet.
Eksempel 1
Løs likningen |
![]() |
|
|
Vi finner log til begge sider av likningen. Fordi funksjonene log x og 10x opphever hverandre, får vi bare x på venstre side. Kontroller resultatet på kalkulatoren. |
Eksempel 2
Løs likningen | lg x = 4 | |
|
Vi gjør om begge sider av likningen til potenser av 10. Funksjonene log x og 10x opphever hverandre, slik at x blir stående alene på venstre side. |
Logaritmer er bare eksponenter. Derfor gjelder de følgende reglene for logaritmer.
Vi vet at 10x×10y = 10x+y. Derfor vet vi også at
x = log a og y = log b.
det fører til at log ab = log a + log b.
På samme måte ser vi at log a/b = log a − log b.
Vi kan skrive log an = log a + log a + ∙ ∙ ∙ ∙ + log a
(n verdier) = n log a.
Fra dette kan man utlede de følgende logaritmereglene:
Eksempel 3
Kombinert gir logaritmereglene betegnelsen på logaritmer:
a) log a + log b + log c = log abc
b) log a + log 2b + log 3c + log 4 = log a×2b×3c×4 = log 24abc
c) log a + log a + log a = 3 log a = log a3
d) log 2a − log 2b = log 2 + log a − log 2 − log b = log a/b
e) ¼×(log a + log a3) = ¼×(log a + 3 log a) = ¼∙4 log a = log a
Eksempel 4
Løs likningen ved å skrive venstre side av likningen som en logaritme.
a)
![]() |
Vi begynner ved å bruke logaritmereglene til å endre venstresiden fra addisjon og subtraksjon til multiplikasjon og divisjon. Deretter setter vi inn basen 10 på begge sider av likningen. 10 og log opphever hverandre, slik at vi sitter igjen med 10x. Til slutt deler vi på 10 for å finne x. Kontroller resultatet på kalkulatoren. |
b)
Først forenkler vi. Skriv begge sider som eksponenter av 10. |
c)
Forenkle først.
Skriv begge sider som eksponenter av 10.
|
d)
Forenkle først. Skriv begge sider som eksponenter av 10.
|
Regelen log an = n log a brukes for å løse likninger av typen ax = b, hvor eksponenten er den ukjente verdien.
Vi finner logaritmen til begge sider, og bruker denne regelen for å flytte x ned.
ax = b
lg ax = lg b
x lg a = lg b
Eksempel 5
Løs likningen
2x = 8192. |
|
lg 2x = lg 8192 |
Finn log til begge sider av likningen |
x lg 2 = lg 8192 |
og flytt x ned foran log som regelen sier. |
x = lg 8192/lg 2 = 13 |
Del begge sidene av likningen på log 2 for å finne x. |
Prøv test 2 i Eksponenter og Logaritmer.
Husk å bruke sjekklisten.