© 2009  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Funkcje I

Drukuj

 

Prezentacja nr 1    Funkcje i wykresy

Przyjrzyjmy się kilku prostym równaniom, które wskazują związek dwóch zmiennych, x i y, i określmy jakim punktom w układzie współrzędnych one odpowiadają.

Dla x wybieramy wartości -2, -1, 0, 1 i 2, obliczamy dla nich wartość y i umieszczamy w tak zwanej tabeli wartości.

Przykład nr 1

Mamy równanie y=2x + 4.

Najpierw tworzymy tabelę obliczonych wartości y dla wybranych przez nas wartości x. Gdy narysujemy te punkty w układzie współrzędnych to widzimy, że leżą one na linii prostej. Łączymy razem punkty.

Bardzo prosto robi się to przy użyciu kalkulatora. Jeśli mamy kalkulator Casio to z Menu wybieramy opcję TABLE.

Potem wpisujemy funkcję 2x+4 w polu Table Func (Y1 = 2x + 4), które jest teraz na ekranie.

Teraz musimy się zdecydować jakie wartości x chcemy użyć. Aby to zrobić wybieramy opcje RANGE poprzez naciśnięcie guzika F5. Pojawi się ekran:

Wybieramy początek (start) -2 i koniec (end) 2. Pitch mówi nam o jaką wartość zmienia się x. W naszym wypadku pozostawimy wartość 1 i naciśniemy EXE. 

Naciskamy więc klawisze w następującej kolejności:

Zabierze nas to z powrotem do poprzedniego ekranu gdzie wybieramy TABLE przez naciśnięcie F6. Teraz na ekranie pojawi się tabela wartości.

Możemy narysować wykres wybierając  G-CON (F5).

Możliwe jest też stworzenie tabeli wartości oraz wykresu w programie EXCEL 

Uruchom program Excel i wykonaj następujące doświadczenia:

W programie EXCEL wprowadzamy liczby -2 i -1 w komórki A2 i A3 (spójrz na tabelę EXCEL'a powyżej), a resztę kolumny A możemy teraz wypełnić automatycznie przez zaznaczenie komórek A2 oraz A3 i następnie skopiowanie w dół. Formuła w B2 jest następująca: =2*A2 + 4 i jest również skopiowana w dół.

Możemy narysować wykres przez zaznaczenie liczb w dwóch kolumnach, a następnie naciśnięcie przycisku tworzenia wykresów (1).

 

 

Wybieramy „xy-scatter“ (2).

Następnie wybieramy jeden z rodzajów wykresów (3)

przed zakończeniem tworzenia wykresu (4).

Teraz możemy zmieniać wygląd wykresu poprzez zaznaczanie elementu, który chcemy zmienić, a następne naciśnięcie prawego przycisku myszki.

Przyjrzyjmy się kolejnym przykładom.

Przykład nr 2

Stwórz tabele wartości i narysuj wykresy następujących funkcji:

y = x

 

x

y = x

-2

-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

 

 

y = 2

 

x

y = 2

-2

2

-1

2

0

2

1

2

2

2

 

 

y = x2

 

x

y = x2

-2

4

-1

1

0

0

1

1

2

4

 

 

y = 2x

 

x

y = 2x

-2

1/4

-1

1/2

0

1

1

2

2

4

Teraz przyjrzymy się bliżej kilku przykładom, które mogą być rozwiązane w ten sam sposób. W tych przykładach formuła nie jest napisana jako y= ...  i przez to nie możemy użyć "table func." w naszym kalkulatorze.

Przykład nr 3

x = 2

Jeśli jedynym warunkiem jest, żeby x miało wartość 2, to nie ma znaczenia, jaką wartość ma y. Możemy wybrać wartości -2,-1,0,1 i 2 i stworzyć następującą tabelę wartości:

Wynikiem jest pionowa linia przecinająca oś x w punkcie 2.

Przykład nr 4

Teraz przestudiujmy zależność y2 = x.

Jeśli rozwiążemy równanie na y to otrzymamy dwa rozwiązania.

  y = ±

Innymi słowy są dwie wartości y dla każdego x, które wybraliśmy. Jesteśmy również ograniczeni do wyboru jedynie dodatnich wartości x ponieważ nie możemy brać pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Poniżej możesz zobaczyć tabelę wartości oraz wykres.

Przykład nr 5

Teraz przyjrzyj się równaniu x2 + y2 = 4.

Rozwiązując na y:

x2 + y2 = 4

y2 = 4 − x2

Znów otrzymujemy dwie wartości y dla każdej wartości x, którą wybraliśmy. Zauważamy również, że  nie możemy wybrać żadnej wartości x spoza przedziału [-2,2] ponieważ mielibyśmy liczbę ujemną pod pierwiastkiem. Tabela wartości oraz wykres są przedstawione poniżej.

Kiedy rysujemy punkty to widzimy, że wszystkie leżą na okręgu ze środkiem w początku układu współrzędnych (0,0). Promień okręgu wynosi 2 jednostki.

Ten wynik jest łatwy do zrozumienia gdyż x2 + y2 = 4 to właściwie twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości 2 i o przyprostokątnych długości x i y. ( Punkty o współrzędnych (x,y) spełniające równanie muszą znajdować się w odległości 2 od środka układu współrzędnych i tworzą okrąg o promieniu 2.)

Te przykłady wskazują na pewną różnicę jakościową. Jeśli mamy jeden konkretny związek między x a y, np. formułę, która przyjmuje jedną wartość y dla każdej wartości x, to możemy stworzyć prostą tabelę wartości i narysować wykres bez większych problemów. Równania, które łączą jeden y z jednym x są bardzo ważne w nauce i nazywają się funkcjami. Mówimy, że "y jest funkcją x" i zapisujemy to jako y = f(x). Czytamy to "y równa się f od x".

Relacja przyporządkowująca każdej wartości x z dziedziny dokładnie jedną wartość y ze przeciwdziedziny nazywana jest funkcją.

Kiedy patrzymy na wykresy równań, które są funkcjami, to widzimy, że pionowe linie nigdy nie przecinają wykresu więcej niż raz.

Dostrzeżemy to jeśli spojrzymy na wykresy w przykładach, które właśnie przerobiliśmy.

Czerwona pionowa linia przecina wykres 2, 3 oraz 4 w dwóch lub więcej miejscach pokazując, że nie są wykresami funkcji. W przykładzie nr 1 wszystkie pionowe linie przecinają wykres tylko raz. To jest wykres funkcji o równaniu  y = x2 .

Funkcje w rodzaju y = x2 są często oznaczane inaczej. Równanie y = x2 możemy zapisać jako f(x) = x2 gdzie y = f(x). Używamy f(x) zamiast y by pokazać, że wartość y zależy od wartości x "jest funkcją x". W tym przypadku, jeśli wybierzemy x = 2 to możemy obliczyć y ze wzoru  y = 22 = 4. W języku funkcji powiemy, że f od 2 równa się 4. Możemy zapisać w postaci funkcji f(2) = 22 = 4.

Przykład nr 6

Dana jest funkcja . Znajdź f(0), f(1) i f(3).

Wstawiamy wartości 0,1 oraz 3 do równania zamiast x i obliczamy wartość funkcji (wartość y) w każdym przypadku.

Dla x=3 rozwiązanie nie istnieje, bo pod pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej.

Do funkcji możemy wstawić również litery zamiast liczb. Jeśli f(x) = x3 + x2 to:

f(a) = a3 + a2    i    f(a2) = a6 + a4   i  f(a+1) = (a+1)3 + (a+1)2.

Przykład nr 7

Dana jest funkcja f(x) = x2, znajdź f(a), f(2a), f(a+1) i f(a+b).

f(a) = a2

f(2a) = 4a2

f(a+1) = (a+1)2 = a2 + 2a + 1

f(a+b) = (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Przećwicz powyższe przykłady, a potem zrób test nr 1.

PS Pamiętaj, żeby regularnie wypełniać Twoją tabelkę wyników.