© 2009  Rasmus ehf    og Jóhann Ķsak

Funkcje I


Drukuj

Prezentacja nr 3        

Funkcje stopnia drugiego

Przyjrzyjmy się ponownie wielomianom stopnia drugiego. Najprostszą postacią funkcji kwadratowej jest f(x) = x2, której wykresem jest parabola.

Zauważ, że wykres jest symetryczny względem osi y. Oś y jest nazywana osią symetrii tej funkcji. Teraz przyjrzymy się jak współczynniki wpływają na wygląd wykresu.

Współczynnik stojący przy x2  jest  zazwyczaj oznaczany a. Jeśli spojrzymy na różne parabole o różnych wartościach a, to zauważymy, że niektóre z nich są szersze, a inne węższe niż podstawowa parabola o współczynniku a = 1. Tutaj są wykresy parabol o współczynnikach a = 4, 2, ½ i ¼. 

         a = 4                a = 2                a = ½               a = ¼

Tutaj widzisz parabole o ujemnych wartościach współczynnika a.

        a = −4              a = −2              a = −½             a = −¼   

Przy wykresach w rodzaju y = ax2 , jeśli wartość a jest dodatnia to wykres jest wygięty do góry (jak uśmiech). Czym większa wartość współczynnika a, tym węższy jest wykres. Gdy a maleje to wykres staje się bardziej płaski, aż a osiągnie wartości ujemne i zaczyna być wygięty w dół.

Przykład nr 1

Teraz narysujemy wykres f(x) = x2 + 1 i porównamy go z g(x) = x2.

Wartości jakie przyjmuje funkcja w tabeli dla  f(x) = x2 +1 są o jeden większe od odpowiadających im wartości w tabeli dla g(x) = x2 i wykres jest przesunięty pionowo o 1. 

Zauważ, że wykres f(x) = x2 + 1 nie przecina osi x. Wynika stąd, że równanie  x2 + 1 = 0 nie ma rozwiązania. Już to wiemy, ponieważ jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu nie będzie ujemna, zatem x2 nigdy nie będzie równy -1.

Przykład nr 2

Narysuj wykres funkcji f(x) = x2 − 1 i porównaj go z  g(x) = x2.

Teraz wartości funkcji w tabeli f(x) są o jeden mniejsze od odpowiadających im wartościom w tabeli dla g(x) = x2 i wykres przesunął się w dół o 1.

x2 − 1 = 0

Zauważ, że wykres f(x) = x2 − 1 w tym przykładzie przecina oś x w dwóch miejscach. Oznacza to, że równanie x2 − 1 = 0 ma dwa rozwiązania,

       x2 = 1

         x = ±1

którymi są:  x = −1 i x = 1.

Przykład nr 3

Przyjrzyjmy się teraz wykresowi funkcji f(x) = (x + 1)2 (lub f(x) = x2 + 2x + 1) i porównajmy go z wykresem g(x) = x2.

Tutaj dodaliśmy 1 do x i możemy zobaczyć, że wszystkie wartości funkcji w tabeli podniosły się o jeden wiersz w porównaniu z tabelą wartości podstawowej funkcji.

Wykres f(x) jest taki sam jak wykres g(x) = x2  tylko przesunięty o 1 w lewo. Mówimy, że wykres podstawowej funkcji został przesunięty o -1 w poziomie. Oś symetrii przechodzi przez x=-1.

Przykład nr 4

Narysuj wykres f(x) = (x − 2)2 − 1 (lub f(x) = x2 − 4x + 3) i porównaj go z wykresem funkcji g(x) = x2. Jeśli zastosujemy tę samą metodę jak w poprzednim przykładzie, to możemy zgadnąć, że wykres przesunął się o dwie jednostki w prawo i jedną w dół. Teraz sprawdzimy to tworząc tabele wartości, zaczynając od x=0 i rysując wykres.

 

 

Zauważ, że oś symetrii przechodzi przez x=2. Możemy znaleźć miejsce przecięcia wykresu osi y bez jego rysowania. Robimy to obliczając f(0) = 3 lub wymnażając nawias i zauważając, że wyraz wolny (wyraz bez x) jest równy 3.

f(x) = (x − 2)2 − 1 = x2 − 4x + 4 − 1 = x2 − 4x + 3

   lub    f(0) = (x − 2)2 − 1 = 4 − 1 = 3

Przykład nr 5

Znajdź miejsce przecięcia wykresu f(x) = (x − 2)2 − 1 z osią x. Wstawiamy y = f(x) = 0 i rozwiązujemy równanie na x.

(x − 2)2 − 1 = 0

Najpierw przenieś -1 na drugą stronę równania.

(x − 2)2 = 1

Następnie spierwiastkuj obie strony równania. Pamiętaj o + i -.

x − 2 = ±Ö1 = ±1

Na końcu przenieś 2 na drugą stronę równania i uprość wynik.

x = 2 ± 1

 

Punkty przecięcia to:  x = 2 −1 = 1 i x = 2 + 1 = 3.

Łatwo zauważyć, że zapisanie funkcji w postaci f(x) = (x − 2)2 − 1 daje nam dużo informacji. Mówi nam, jak wykres jest przesunięty w pionie i poziomie. Pokazuje nam również, gdzie znajduje się oś symetrii, a także możemy łatwo znaleźć punkty przecięcia z osiami x i y. 

Ogólna postać równania tak zapisanego to:

    f(x) = a(x + r)2 + s

Jak już widzieliśmy a jest współczynnikiem x2.

Oś symetrii opisuje równanie x=-r (lub możemy powiedzieć, że ma taką samą wartość jak r ale z przeciwnym znakiem).

Z tych powodów ważne jest, aby wiedzieć jak zapisać równanie 

    f(x) = ax2 + bx + c   w takiej postaci   f(x) = a(x + r)2 + s

Przykład nr 6

Teraz przyjrzyjmy się, jak możemy zmienić postać funkcji drugiego stopnia, czyli zapisać f(x) = x2 − 4x + 3 w postaci f(x) = (x − 2)2 − 1. Porównując z ogólną postacią:

    f(x) = ax2 + bx + c

    f(x) = x2 − 4x + 3

Tutaj a = 1

    i b = −4  

    i c = 3 (zatem wykres przecina oś y w 3).

Przyjrzyj się wzorowi skróconego mnożenia (x ± q)2 = x2 ± 2qx + q2.

Widzimy, że współczynnik przy x wynosi 2q, czyli połowa równa jest q, które jest  podnoszone do kwadratu przy stosowaniu reguły.
W naszym przypadku w wielomianie f(x) = x2 − 4x + 3 ostatni czynnik musiałby być równy  22 lub 4, jeśli chcielibyśmy wykorzystać regułę do zapisania wielomianu  w postaci nawiasu podniesionego do drugiej potęgi. Możemy dodać 4 do zadania, a potem je odjąć, jeśli mamy taką ochotę. Możemy dodać jakiekolwiek q2, jeśli je potem odejmiemy. Spróbujmy w ten sposób:

      f(x) = x2 − 4x + 3

Połowa współczynnika przy x to -4/2 = -2 , które podnosimy do kwadratu (4) i dodajemy do równania.

      = (x2 − 4x + 22) − 22 + 3

      = (x − 2)2 − 4 + 3

Nie możemy dodać 22  do równania bez dokonania pewnych poprawek. Musimy również odjąć 4, tak aby równanie pozostało prawdziwe. Teraz upraszczamy -4+3=-1.

      = (x − 2)2 − 1

Z przykładu powyżej możemy wyciągnąć wniosek, że wykres wielomianu drugiego stopnia (f(x) = x2 + bx + c) ma oś symetrii x = −b/2 (a = 1) i przecina oś y gdy y = c.

Przykład nr 7

Znajdź oś symetrii wykresu funkcji f(x) = 2x2 − 12x + 10.

W tym przypadku a = 2 zatem reguła z poprzedniego przykładu tutaj się nie stosuje. Nie można więc w prosty sposób przepisać tego równania do takiej postaci. Za to przesuniemy tę funkcję o 10 jednostek w dół przez odjęcie 10 od równania. Przesunięcie wykresu w pionie nie zmienia położenia osi symetrii. 

Nazwiemy tę nową funkcję g(x) i znajdziemy gdzie g(x) przecina oś x.

    2x2 − 12x = 0

    2x(x − 6) = 0

To równanie ma rozwiązanie  x = 0 lub 6. Wykres przecina oś x w 0 i 6, zatem oś symetrii musi być w połowie odległości między tymi dwoma punktami, czyli x = 3.

Przykład nr 8

Zapisz funkcję f(x) = 2x2 − 12x + 10 w postaci f(x) = a(x + r)2 + s .

f(x) = 2x2 − 12x + 10

Wyciągnij 2 przed nawias. Połowa współczynnika przy x to 3, zatem dodaj 32 wewnątrz nawiasu. W rzeczywistości dodaliśmy 18, zatem musimy teraz odjąć  2∙32 poza nawiasem.

      = 2(x2 − 6x + 32) − 2∙32+ 10

      = 2(x2 − 6x + 9) − 18 + 10

      = 2(x − 3)2 − 8

Teraz widzimy, tak jak poprzednio, że oś symetrii jest w x = 3.

Współczynniki przy x w przykładzie powyżej (f(x) = 2x2 − 12x + 10) to a = 2, b = −12 i c = 10. W celu znalezienia osi symetrii wyciągamy czynnik 2 przed nawias, co równoznaczne jest podzieleniu przez a = 2. Potem dzielimy współczynnik stojący przy x (6) przez 2 i zmieniamy znak liczby.

Ogólny wzór opisujący położenie osi symetrii funkcji f(x) = ax2 + bx + c wygląda więc następująco:

           

Przykład nr 9

Znajdź wierzchołek paraboli f(x) = 2x2 − 12x + 10.

Wierzchołek paraboli znajduje się na osi symetrii czyli w x = 3. Wartość y to f(3) = 2∙32 − 12∙3 + 10 = 18 − 36 + 10 = −8.

Wierzchołek znajduje się w punkcie (3, −8).

Zauważ, że jeżeli a>0 to wierzchołek znajduje się w minimalnej wartości funkcji a jeśli a<0 to wierzchołek jest w  maksymalnej wartości funkcji.

Przećwicz powyższe przykłady, a potem zrób test nr 3.

PS Pamiętaj, żeby regularnie wypełniać Twoją tabelkę wyników.