© 2009  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak Pétursson

Funkcje I

Drukuj

Prezentacja nr 5

Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Możemy myśleć o funkcji jak o maszynie lub sekwencji operacji wykonywanych na zbiorze liczb. Liczby wchodzą do maszyny, a inne liczby wychodzą z niej w zależności jak funkcja jest zdefiniowana. Liczby, które możemy włożyć do maszyny nazywane są dziedziną funkcji. Liczby, które wychodzą z niej nazywane są wartościami funkcji.

Liczby (x), które obejmuje formuła f(x) nazywamy „dziedziną” i oznaczamy Ff. (Jeśli postanowimy nazywać funkcję g(x) to będzie to dziedzina Fg). Jeśli dziedzina nie jest podana to zakładamy, że funkcja jest określona dla wszystkich liczb w zbiorze liczb rzeczywistych (zbiorze R).

Wyobraźmy sobie teraz, że wszystkie wartości x w dziedzinie zostaną wykorzystane do obliczenia wartości f(x). Taki zbiór nazywany jest zbiorem wartości funkcji lub obrazem i jest oznaczany Vf.

Kiedy ustalamy dziedzinę funkcji musimy brać pod uwagę, że działania rachunkowe mogą stworzyć nam ograniczenia dotyczące używanych liczb. Główne działania ograniczające to dzielenie i pierwiastkowanie. Musimy wyeliminować z dziedziny liczby, które tworzą dzielenie przez zero albo pierwiastek z liczby ujemnej.

Trudniej może być znaleźć zbiór wartości funkcji. Najprostszym sposobem jest obejrzeć wykres i odczytać z niego granice zbioru wartości funkcji. Możemy także obliczyć wartości poza granice dziedziny i próbować oszacować, co się dzieje pomiędzy.

Przykład nr 1

Dana jest funkcja f(x) = 2x + 4. Możemy wybrać jakąkolwiek wartość x, żeby móc obliczyć f(x). Zatem nie musimy ograniczać dziedziny. Wszystkie liczby się nadają, więc Ff = R.

Gdy stworzymy tabelę wartości wybierając jakiekolwiek wartości x to widzimy, że y przyjmuje wartości rzeczywiste. Czym większe wybierzemy x tym większa będzie wartość y. Gdy narysujemy wykres to widzimy, że jest to prosta, którą możemy przedłużać w obie strony jak długo tylko chcemy. Zatem zbiorem wartości funkcji jest również zbiór R.

Dziedzina

x

Wartości funkcji

f(x) = 2x + 4

-2

0

-1

2

0

4

1

6

2

8

Przykład nr 2

Teraz rozważymy funkcję

Dziedzina

x

Wartości funkcji

f(x) = 1/x2

-2

1/4

-1

1

-1/2

4

0

Niemożliwe do obliczenia

1/2

4

1

1

2

1/4

Jedyna wartość, której nie możemy wybrać to x = 0, gdyż musielibyśmy dzielić przez 0. Zatem dziedziną funkcji jest R\{0}.

Widzimy z łatwością jakie otrzymamy wartości y, patrząc na tabelę wartości. Widzimy, jednakże, że f(10) = f(−10) = 1/100 i f(100) = f(−100) = 1/10.000 itd. Gdy x rośnie to y staje się coraz bliższy 0. y nigdy nie przyjmuje wartości 0 i nigdy wartości ujemnych. Gdy x zbliża się do 0, y staje się coraz większe: f(1/10) = f(−1/10) = 100 i f(1/100) = f(−1/100) = 10.000. Podsumowując zbiór wartości funkcji to zbiór liczb rzeczywistych większych od 0: Vf = á0, ®ń. 

Przykład nr 3

Przyjrzyj się funkcji

Dziedzina:    Wartości funkcji:

:

Funkcja może być określona dla wszystkich wartości x z wyjątkiem x = 2, stąd dziedziną jest Ff = R\{2}.

Z tabeli wartości oraz z wykresu widzimy, że y przyjmuje wszystkie wartości z wyjątkiem tych z przedziału -2 do 2.

Zbiór wartości funkcji:

Vf = {y Î R│y Ł −2 lub y ł 2}.

Przykład nr 4

Przyjrzyj się paraboli  y = x2 − 2x + 2.

Wiemy, że ramiona paraboli skierowane są do góry gdyż a > 0, zatem wierzchołek jest minimalną wartością. Musimy obliczyć położenie wierzchołka, żeby określić zbiór wartości funkcji. Znajdujemy oś symetrii tak jak poprzednio, korzystając ze wzoru x = −b/2a. 

x = −(−2/2) = 1.

Następnie musimy znaleźć wartość y dla x = 1. Zatem obliczamy:

f(1) = 1 − 2×1 + 2 = 1. Wierzchołek jest w punkcie (1, 1) .

Wartości y nigdy nie przyjmują wartości poniżej 1, natomiast przyjmują wartości w nieskończoności.

Zatem zbiór wartości funkcji f(x) to Vf = [1, ®ń.

Przykład nr 5

Znajdź dziedzinę i zbiór wartości funkcji

Dziedzina:   Wartości funkcji:

Nie możemy określić funkcji dla każdego x powyżej 5, ponieważ oznaczałoby to obliczenie pierwiastka z liczby ujemnej. Możemy, jednakże, wybrać jakiekolwiek inne x włącznie z wartościami ujemnymi x, ponieważ wtedy otrzymamy dwa znaki minus przed x  (−− = +) pod pierwiastkiem. Dziedzina to:


Można to zapisać w taki sposób

lub taki

Ff = {xÎR│x Ł 5} =

Ff = á¬5]

Aby znaleźć zbiór wartości funkcji tworzymy tabelę wartości i przyglądamy się wykresowi.

Widzimy, że wykres kończy się w punkcie (5, 0), ale możemy go przedłużać w lewo do góry jak długo tylko chcemy. Wartości y nigdy nie osiągają wartości poniżej 0. Zatem:

Można to zapisać w taki sposób

lub taki

 Vf = {yÎR│y ł 0} =

Vf = [0, ®ń

Przypomnienie: Wartości x decydują o dziedzinie, a wartości y decydują o zbiorze wartości.

Przećwicz powyższe przykłady, a potem zrób test nr 5.

PS Pamiętaj, żeby regularnie wypełniać Twoją tabelkę wyników.