© 2009  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Trygonometria


Drukuj

Prezentacja nr 1   

Twierdzenie Pitagorasa w postaci trygonometrycznej

Matematyka posiada wiele twierdzeń, które pozwalają nam upraszczać problemy i tym samym rozwiązywać skomplikowane równania trygonometryczne. Teraz spróbujemy poznać jedno z nich, prawdopodobnie to najbardziej przydatne.

Twierdzenie to często nazywane jest twierdzeniem Pitagorasa w postaci trygonometrycznej lub jedynką trygonometryczną. Twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe dla wszystkich punktów P, które znajdują się na jednostkowym okręgu. To oznacza, że:

 

sin 2 v + cos 2 v = 1

To równanie może być zapisane na dwa sposoby:

sin 2 v = 1 − cos 2 v

i

cos 2 v = 1 - sin 2 v

Przykład nr 1

Znajdź sin x jeśli cos x = ⅓ i 0 x < p/2 (x jest kątem z przedziału 0° do 90°).

Możemy rozwiązać ten problem używając kalkulatora, cos−1 (⅓) ≈ 70,53° a zatem sin 70,53° ≈ 0,94. Jeśli chcemy dokładne rozwiązanie, to możemy rozwiązać ten przykład bez kalkulatora wykorzystując twierdzenie Pitagorasa w postaci trygonometrycznej.

Przykład nr 2

Wykorzystaj związek sin2 v + cos2 v = 1, aby zapisać w inny sposób  1/ cos 2 v.

Jednym ze sposobów jest przeniesienie sin2 v na drugą stronę równania, tak by otrzymać cos2 v = 1 − sin2 v, a następnie odwrócić obie strony równania. Dzięki temu otrzymamy:

Jest też inny niezbyt oczywisty sposób, który prowadzi do bardzo przydatnej postaci wyrażenia. Zwróć uwagę co się stanie jeśli podzielimy oryginalne równanie sin2 v + cos2 v = 1 przez cos2 v.


              

Teraz udowodniliśmy twierdzenie:

Przykład nr 3

Teraz użyjemy twierdzenia Pitagorasa w postaci trygonometrycznej do znalezienia wartości sin2 v i cos2 v przy założeniu, że sin2 v = cos2 v.

Najpierw zastępujemy cos2 v przez cos2 v = 1 − sin2 v.

      sin2 v = cos2 v

      sin2 v = 1 − sin2 v

   2∙sin2 v = 1

      sin2 v = ˝

Teraz zastępujemy sin2 v przez sin2 v = 1 − cos2 v.

          sin2 v = cos2 v

   1 − cos2 v = cos2 v

                 1 = 2∙cos2 v

         cos2 v = ˝

Przykład nr 4

Rozwiąż równanie cos2 x = sin x + 1

        cos2 x = sin x + 1

   1 − sin2 x = sin x + 1

                0 = sin2 x + sin x = sin x (sin x + 1)

To prowadzi do sin x = 0 albo sin x = −1.

zatem x = k∙p (k∙180°) lub x = 3p/2 + k∙2p (270° + k∙360°).

Przykład nr 5

Uprość wyrażenie    

 

 

 

 

 


 

Tutaj używamy wzoru skróconego mnożenia 

(a + b)(a − b) = a2 − b2

a potem zapisujemy tg jako sin/cos  i upraszczamy

 

Przećwicz powyższe przykłady, a potem zrób test nr 1.

PS Pamiętaj, aby regularnie wypełniać Twoją tabelkę wyników.