Lektion 1

  Mängdlära och beteckningar  

En samling utav nummer, objekt eller idéer e.t.c. kallas för en MÄNGD och varje objekt i mängden kallas för ett element utav mängden. De flesta mängder vi har att göra med är mängder bestående utav tal och varje tal som tillhör den mängden kallas för ett ELEMENT utav mängden

Mängder skrivs genom att använda vågiga parenteser vilka innehåller element utav mängden. T.ex. en mängd som endast innehåller talen 1, 2 och 3 skrivs { 1,2,3 }.

Jämna tal som är större än 0 kan skrivas { 2,4,6,8,∙∙∙∙∙∙∙}. Punkterna visar att talen fortsätter att följa samma mönster.

Vanligtvis används stora bokstäver som namn på mängder. Vi kan t.ex. namnge mängden som innehåller talen 0, 1, 2 och 3 M och skriva M = { 0,1,2,3 }.

Matematik har ett helt språk utav symboler vilka används till att representera ord och uttryck. Detta gör det möjligt för oss att redogöra exakt och logiskt vad vi menar utan att använda en massa ord. Många utav dessa symboler används i mängdlära. Här följer några exempel:  

Symbolen betyder “tillhör” eller “är ett element av”..

Om vi drar en linje genom denna symbol dvs. stryker över den, , då betyder den ”tillhör inte” eller ”är inte ett element av”.

betyr  “er ikke en del av” eller “ er ikke et element i ”.

Om M = { 0,1,2,3 } så kan vi göra dessa uttryck

{ 1 } M   och   { 4 } M

Vilka båda är korrekta.

Ibland är det lättare att beskriva en mängd istället för att skriva en lista med dess element. En vertikal linje | inuti mängdparenteserna är symbolen för ”sådan att” eller ”för vilken är korrekt att”. T.ex. mängden av tal som tillhör mängden M vilka är färre än 3 kan skrivas

{ x M | x < 3 } = { 0, 1, 2 }

Detta läses “x är ett element av mängden M sådan att x är mindre än 3”.Detta är korrekt för talen  0, 1 och 2.

Vi kan även beskriva mängden ovan som att vara samma mängd som M förutom talet 3. Ett snedstreck \ är symbolen som används för att betyda ”förutom”. Genom att använda denna beteckning kan vi skriva:

Ofta behöver vi mer än ett villkor för att beskriva en mängd. Här är ett exempel:

{ x M | x < 3  och x ¹ 0 } = { 1, 2 }

Detta läses “ x är ett element av mängden M sådan att x är mindre än 3 men inte lika med 0

Om vi har ett villkor där inget element satisfierar så har vi en mängd som kallas den tomma mängden. Med andra ord en mängd med ingenting i den.

Symbolen Ø eller }{ används för den tomma mängden.  T.ex.

{ x M | x > 3 } = Ø

Detta läses: mängden av alla talen i M som är större än 3. Då M endast innehåller talen 0, 1, 2, 3 så finns det inga tal som är större än 3.

När vi tittar på mängderna A = { 1,2,3,4,5 }, B = { 1,3,5 } och C = { 2,4,6 } kan vi på en gång se att alla element i mängden B även är element i mängden A. Vi kallar det att B är en äkta delmängd utav A. Symbolen  används för att uttrycka denna relation. Vi skriver 

B A

Lägg även märke till att mängden C innehåller elementet, 6, vilket inte finns i mängden A. I detta fall är inte C en delmängd utav A. Symbolen för detta görs genom att dra ett streck genom , dvs. vi stryker över den som vi har gjort med andra symboler när någonting inte är sant. I mängdbeteckning skriver vi

 C A

Vi använder orden ”äkta delmängd” om en mängd rymmer en annan men de inte är samma mängd. Om en mängd rymmer en annan men kan vara samma mängd använder vi ordet delmängd och symbolen  . Detta är jämförbart med användningen utav olikhets symbolerna i algebra, < och  .