© 2009  Rasmus ehf    och Jóhann Ísak

Vektorer

Vektorer. 

Addition och subtraktion av vektorer. Multiplikation mellan vektorer och konstanter.

Vissa storheter som temperatur och längd kan beskrivas med ett talvärde. Dessa storheter kallas skalär mängd. Andra mängder som acceleration och kraft behöver både riktning och storhet. Sådana mängder kallas vektorer. Vektorer är inte nödvändigtvis fasta i förhållande till rummet. Till exempel, att flytta sig 5 m norrut på ett horisontellt plan sker på samma sätt oavsett var på planet det görs.
Inom matematiken ritas vektorer som pilar. Längden på vektorn är dess storhet och riktningen på pilen visar vektorns riktning. På så sätt kan en förflyttning på 5 m norrut ritas som en 5 cm lång, lodrät pil uppåt och en förflyttning på 2 m österut som en 2 cm lång, vågrät pil till höger. (Se vektorerna och på bilden).

I skrift betecknas vektorer med små bokstäver med ett streck över eller med begynnelse- och ändpunkt med en pil över (t.ex.   om A är begynnelsepunkten och B ändpunkt).

På bilden här nedan ser vi att pilarna AE, FK och DH har samma längd och riktning. Dessa pilar är lika och symboliserar samma vektor, nämligen vektorn  . Om vi ritar in pilarna BF, CG, EJ, GL og HM så kan även dem betecknas som vektorn .

På bilden ovan ser vi att pilen LG är parallell med pilen FK men den har motsatt riktning. Vi kan därför se det som att pilen LG betecknar vektorn − .

Nu tittar vi på fler möjligheter.

Om pilen AE betecknar vektorn  då måste en dubbelt så lång pil, säg pilen BK, beteckna vektorn 2.
På samma sätt kan vi säga att om pilen BD betecknar vektorn  då måste pilen GH beteckna  ½∙  den är trots allt hälften så lång som pilen BD. Nu använder vi det ovanstående och gör följande:

På bilden här nedanför har vi kopplat ihop två pilar som båda betecknar vektorn  .

Av det vi ser på bilden ovan så är det logiskt att dra slutsatsen att   +  är lika med 2.  Det är därför inte överraskande att addition av vektorer är samma sak som att koppla ihop vektorernas ändpunkt och begynnelsepunkt.

På bilden ovanför representerar pilen AE vektorn   och pilen KM representerar vektorn  . Pilen BK är parallell med AE men dubbelt så lång. Om vi kopplar ihop BK (2) och KM  () får vi vektorn 2 +  som representeras av pilen BM.

Exempel 1

På bilden här nedanför representerar pilen AE vektorn  , AC vektorn  och AM vektorn  .

Hur skriver vi vektorn   med hjälp av vektorna   och . ? 
Det kan vi göra genom att multiplicera vektorn  med 2
(med andra ord, vi lägger till pilen EJ till AE) och sedan addera den vektorn med 1½  .
(Se bild)

Resultatet är   = 2  + 1½ .

Det vi har gjort kallas för att hitta komponenterna i vektorn   med hjälp av vektorerna   och . LKomponenterna är  2 och 1½ .

Exempel 2

Vi använder samma vektorer och samma koordinater som i exempel 1
för att hitta en pil som representerar vektorn   − .

Vi börjar med att konstatera att  −  är samma vektor som   + (− ). Rita sedan vektorn från punkt G till punkt L så att vi får mer utrymme att arbeta på. Sedan lägger vi till en pil som är lika lång som vektorn   men har motsatt riktning. Resultatet blir vektorn .

Vi ser på bilden ovan att differensen mellan   och  kan även vara vektorn  (som är samma vektor som  ).
Det ger oss en andra metod att hitta differensen mellan två vektorer.

Eftersom vektorer representeras av både längd och riktning (vinkel) måste vi ofta använda trigonometri för att lösa problem med vektorer, som till exempel att räkna ut riktningen för en sammanlagd vektor eller en vektors längd. Det är vanligt att använda absolut a belopp när man talar om längden på vektorer.

Exempel 3

I byggbranschen är det viktigt att räkna ut effekten av alla krafters samspel på enstaka delar i byggnader. Vi tänker oss att krafterna som vi ser i bilden här nedanför alla verkar på samma objekt. Låt oss nu räkna ut deras samverkande kraft.

Summan av vektorerna hittar vi genom att koppla ihop dem.

De sammankopplade vektorerna slutar en ruta nedanför startpunkten. Det betyder att krafternas sammanlagda effekt är att dra ner objektet, en ruta lodrätt nedåt.

Exempel 4

Vi använder samma vektorer som i exempel 3 og räknar ut   −  −  + .

Vi vänder på vektorerna  och  och kopplar sedan  ihop alla vektorerna.

Resultatet är den röda vektorn på bilden som går från begynnelsepunkten till ändpunkt på de sammankopplade vektorerna. Lägg märke till att vi flyttat vektorn . för att bättre kunna utnyttja koordinatsystemet men som vi vet så är vektorns position i planet (eller rummet) inte viktig, endast vektorns riktning och längd. Koordinatsystemet har inte varit nödvändigt men det hjälper oss att rita och rikta vektorerna. 

Exempel 5

| | kan vi räkna ut med Pythagoras sats

   | |² = 24² + 7²

              = 576 + 49 = 625

    | | =

              = 25 ^sjömil/timme.

 

Vinkeln A räknar vi ut med funktionen

              = ⁷/₂₄

           A = tan ⁻¹(⁷/₂₄) ≈ 16°

Exempel 6

En färja måste segla över en 100 m bred flod. Färjans fart är 3 ^m/_s och flödet i floden är 1 m/s.

a)   Hur lång tid tar det för färjan att segla rakt över floden?

      Här spelar strömmen ingen roll för färjan gör inget för att motverka den. Vi behöver bara räkna ut hur lång tid det tar att segla 100 m med en fart på 3 m/s.

b)   Nu räknar vi ut färjans verkliga fart.

Vi ritar upp vektorerna som visar både båtens och flodens fart och flöde, samt riktning.

Här kan vi använda Pythagoras sats.

   x² = 3² + 1² = 9 + 1 = 10

x = ≈ 3,2 m/s

    

c)   Hur långt har båten drivit nedströms när den seglat över floden?

I triangeln här nedanför är hypotenusan den väg färjan måste segla og den längre katetern visar den kortaste vägen över floden (100 m). Den korta katetern, x, visar den sträcka som färjan har drivit nedströms.

Triangeln i bilden här ovan är proportionell med den triangel som bildas av vektorerna i b).

1/3 = x/100

Vi multiplicerar båda leden med 100.

      x = ¹⁰⁰/ ₃ = 33⅓ m

Vi har använt vektorer för att lösa detta problem, men som vi nu ser så är detta ett enkelt geometriskt problem. Vi vet att flödet är 1 m/s och att det tar 33⅓ s för färjan att ta sig över floden och därav följer att färjan driver 33⅓ m nedströms. Men nu när vi räknat problemet den komplicerade vägen ser vi ett samband mellan vektoruträkningar och trianglar.

d)  

Färjan vill segla den kortaste vägen över floden och landa på exakt motsatt sida och måste därför segla uppströms med vinkeln y°. Hur stor måste vinkeln y° vara för att färjan ska kunna motverka flodens flöde?

Vi vet att färjan driver nedstöms 1 m för varje 3 m som den seglar. Det representeras av den triangel vi ser i bilden här nedanför och vi måste räkna ut vinkeln y°.

         y° = sin⁻¹(¹/₃) ≈ 19,5°

e)  

Vilken fart håller färjan om den seglar uppströms som i d)?

Nu seglar färjan uppströms i vinkeln 19,5°. Färjans fart och flodens flöde är fortfarande dem samma som i början men vi vill nu veta vad x är.

Summan av vektorerna kan vi räkna ut med hjälp av Pythagoras sats

   x² + 1² = 3²

           x² = 9 − 1 = 8

            x = Ö8 ≈ 2,8 m/s

---

Exempel 7

Två rep är fastsatta framtill i mitten på en tung släde och varje rep drar släden med en kraft på 100 N. Vinkeln mellan repen är 60°. Vi ska räkna ut hur stor den sammanlagda kraften är som drar släden framåt. Först ritar vi en bild.

Vi använder först vektoraddition och sedan trigonometriska regler för att räkna på den resulterande triangeln.

 

Vektorn x som vi ska hitta delar vinkeln på 60° i två mindre lika stora vinklar vilket resulterar i en likbent triangel med två 30°:s vinklar och en stor vinkel på 120°. Nu kan vi använda sinussatsen för att räkna ut x.

 

Öva på dessa exempel och gör sedan test 1 i vektorer.

Obs! Kom ihåg att fylla i din checklista under tiden.